第一章 绪论
1.1. 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即
b T m =λ(常量)
并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.
解: 能量密度公式 581
hc kT hc d d e λλπλ
ρλλ=-
则可由
0=λρλ
d d 解得 m λ 05111186=⎪⎭⎫
⎝⎛---=λλλλλλπλρkT hc kT hc kT hc e e kT hc e hc d d , 亦即 051
1
=--λλλkT hc kT hc e e kT hc
若令
x kT hc
m =λ, 则 051
1=--x x e xe 即 015
=-+-x e x
这是个超越方程,用计算机做出()51x f x e x -=+-的函数图,容易看出当0,5x =附近近似地满足上述方程(舍去0x =的解),用计算机编程求出其数值解为
96514.x ≈ 显然 23
8
23
6.62610 2.991028971.3810 4.9651
m hc T kx λ--⨯⨯⨯===⨯⨯⋅⋅米度微米度 绘图程序: >>clear x=0:0.01:8; y=exp(-x)+x/5-1; plot(x,y,'-k' ,'LineWidth',2)
title('\fontsize{18}\rmf(x)=e^-^x+x/5-1的图像', 'Color','k') xlabel ('\fontsize{14}\rmx', 'Color','k') ylabel ('\fontsize{14}\rmf(x)', 'Color','k') axis ([0 8 -0.8 0.8]) grid on %end 计算程序:
1.在文件编辑区建立待求方程组文件并保存： function F = myfun(x)
F = exp(-x)+x/5-1 % Compute function values at x 2. 在MATLAB 的命令窗口求解： >>clear
x0=1 %建立初始量
题1.1图
fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 0 >>clear
x0=5 %建立初始量 fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 4.9651
1.2. 在K 0附近,钠的价电子能量约为3电子伏特,求其德布罗意波长. 解: 因 E
h p
h μλ2==
而 1212
1084106133--⨯=⨯⨯==..eV E (尔格)
故
()27
2780206.626107.0827107.08279.3466610
A cm λ----⨯=
==⨯=⨯ 1.3. 氦原子的动能是kT E 2
3
=
(k 为波尔茨曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长. 解: 在c v <<的情况下,E p μ2=,故 E
h p h μλ2==. 对于氦原子16
103812
323-⨯⨯==.kT E (尔格),24241068610
6714--⨯=⨯⨯=..μ(克
), ()27
801.210 1.2A cm λ--==⨯=
1.4. 利用波尔-索莫菲的量子化条件,求: (1) 一维谐振子的能量;
(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径. 已知外磁场10=H 特斯拉,玻尔磁子24
10
9-⨯=B M 焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间
隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较.
解: 波尔-索莫菲的量子化条件表示为 ⎰
==Λ3210,,,n h n dq p i i i i
(1) 求一维谐振子的能量
一维谐振子的能量 2222
1
2q p E μωμ+=
整理为如下形式: (
)
1222
222
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
μωμE q E
p
这是椭圆方程,长短半轴b ,a 为
E a μ2=, 2
2μωE
b =
.
于是
⎰==
==nh E
ab pdq ω
ππ2椭圆面积
由最后一个等式,立即得到:
π
ω2321h ,,n ,n E =
==ηΛ
η其中 (2) 求电子轨道的可能半径
电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定的线速度v 作半径为R 的圆运动,则角动量就是广义动量
Rv p μϕ=
对应的广义坐标为ϕ,则
()Rv d Rv d p nh πμϕμϕπ
ϕ220
==
=⎰⎰
由上式得
R
nh
v πμ2=
(1) 另一方面,电子在均匀磁场中作圆周运动的力R v 2
μ来源于电子所受到的罗仑兹力evB ,即
2
v evB R
μ=
亦即
eBR
v μ
=
(2)
比较(1)和(2),消去v 便得到
1,2,3R n =
=L 现在来研究电子的能量.先讨论电子的动能：
222222*********B e B R e B n e T v nB nBM eB μμμμμμ=====h h (2B
e M μ
=h 波尔磁子) 其次讨论电子的势能. 电子作圆周运动相当于有一个磁矩μ，取磁场方向B 为正方向. 则磁矩
222
v evR
m iA e R R ππ==-=-
2v R
π代表电子作圆周运动的频率，i 是电流强度，2
A R π=是电流环的面积. 综合上述结果得 22222222evR eR eBR e
B e B n e m R n eB μμμμ
=-=-=-=-=-h h
因此与磁场B 的作用能为
2eB
V mB n μ
=-=h
所以带电粒子总能量为
222B eB
e E T V n n
B nM B μ
μ
=+===h
h。

动能的量子化间隔为：B T BM ∆=。

具体到本题，有
242310910910T J J ∆--=⨯⨯=⨯
根据动能与温度的关系式
3
2
T E kT =
(为区别起见，此处用T E 代表动能) 以及
323110 1.610k K eV J --⋅==⨯
可知，当温度4T K =时
232233
4 1.6109.61022
T E kT J J --==⨯⨯⨯=⨯
可知，当温度100T K =时
232033
100 1.610 2.41022
T E kT J J --==⨯⨯⨯=⨯
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量间隔。

1.5. 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对.如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?
解: 反应可以表示为 +
+→e e γ2
正负电子的能量 224202p c c m E +=,设产生的正、负电子静止,即0=p ,2
0c m E =,
这能量来自光量子λνc
h
h E ==,所以光子的最大波长(对应于最小能量)为:
8
3134020024010
99821019106266A ....c m h c m hc E hc =⨯⨯⨯⨯====--λ。