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滚动限时训练7
1.已知全集U R =，函数12-=
x y 的定义域为集合A ，则=A C U . (,0)-∞
2.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a = ▲ .
3.圆心在抛物线22x y =上,并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为
▲ ．()12112
2
=⎪⎭⎫
⎝
⎛-+±y x
4.在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边在射线y ＝－3x
（x ＞0）上，则sin5α＝ ▲ ．
3
2
5.在菱形ABCD 中
，AB =,23
B π
∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅= ▲ ．12-
6.设双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,
则此双曲线离心率的最大值为 ▲ ．
3
5
7.从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ▲ ．224+ 8.已知x ，y 为正数，则
22x y
x y x y +
++的最大值为 ▲ ．3
2 9. 在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 2
4
＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点
P 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

在椭圆C 上且异于点A 、B 错误！未找到引用源。

，直线AP 、PB 与错误！未找到引用源。

直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N .
（1）设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，错误！未找到引用源。

求证：k 1·k 2错误！未找到引用源。

为定值；
（2）求线段MN 长的最小值；
（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论． 解：（1）由题设x 2
4
＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).
令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.
所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1
x 0
，PB 的斜率为k 2＝
y 0＋1
x 0
. ………………2分
（第9题）
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又点P 在椭圆上，所以2
20014
x y +=（x 0≠0），从而有 k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02
＝－1
4. ………………4分
（2）由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)，直线PB 的方程为
y －(－1)＝k 2(x －0).
由⎩⎨⎧-==-211y x k y ，解得⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=2
31y k x ； 由⎩⎨⎧-==+212y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧
-=-=2
12y k x .
所以，直线AP 与直线l 的交点13(,2)N k -
-，直线PB 与直线l 的交点2
1
(,2)M k --. ………………7分
于是|1
3|
2
1k k MN -=，又k 1·k 2＝－14，所以
111133|
4|4||||MN k k k k =+=+≥
4
3， 等号成立的条件是
113
4||||
k k =
，解得12k =±.
故线段MN 长的最小值是4
3. ……………10分
（3）设点Q (x ,y )是以MN 为直径的圆上的任意一点，则QM →·QN →
＝0，故有
12
31
()()(2)(2)0x x y y k k +++++=.
又121
4
k k ⋅=-
，所以以MN 为直径的圆的方程为 2211
3
(2)12(4)0x y k x k ++-+-=. ………………13分
令22
(2)120x x y =++-=⎧⎨⎩
，解得02x y ==-+⎧⎨⎩
02x y ==--⎧⎨⎩所以，以MN 为直径的圆恒过定点)322,0(+-（或点)322,0(--）．……16分
10. （理科生做）
如图，过抛物线2
:4C y x =上一点P （1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点1122(,),(,)
A x y
B x y
（1）求12y y +的值；（2）若120,0y y ≥≥，求PAB ∆面积的最大值。

y
A B
P
O
x
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解：．⑴因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在抛物线:C 24y x =上，
所以22
1212(,),(,)44
y y A y B y ， PA k =112
211124(2)44214
y y y y y ++==---， 同理242PB k y =-，依题有PA PB k k =-，因为1244
22y y =-
--，所以124y y +=． ⑵由⑴知212221144
AB y y k y y -==-，设AB 的方程为22
1111,044y y y y x x y y -=--+-=即，
P 到AB
的距离为d =
，2
21214y AB y y =-=-， 所以
11
2
PAB S y ∆=
-=
2111141224y y y ---2111
(2)1624
y y =---， 令12y t -=，由124y y +=，120,0y y ≥≥，可知22t -≤≤．
3
1164PAB S t t ∆=
-， 因为3
1164
PAB S t t ∆=-为偶函数，只考虑02t ≤≤的情况，
记33()1616f t t t t t =-=-，2()1630f t t '=->，
故()f t 在[]02，
是单调增函数，故()f t 的最大值为(2)24f =，故PAB S ∆的最大值为6．。