高三数学选填专题限时训练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-<，101x B x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则()AB =R（ ）.A.{}01x x << B.{}12x x < C.{}01x x < D.{}12x x <<2.已知12a -<<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）. A.[)1,5B.⎡⎣C.D.()2,53.从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）. A.35 B.25 C.15 D.3104.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB △的面积为12”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5.下列命题正确的是（ ）.A.函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增B.函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πC.函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形D.函数tan 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像是关于直线6x π=成轴对称的图形 6.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A.13π B.12π C.2π D.π俯视图侧视图正视图7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）. A.1- B.1 C.2- D.28.已知双曲线M ：22221x y a b -=和双曲线N ：22221y x a b-=，其中0b a >>，且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率是（ ）. A.512+ B.512- C.532+ D.352- 9.已知正实数,m n 满足log log a a m n <()01a <<，则以下不等式成立的是（ ）. A.22mn< B.11m n m n <++ C.11ln ln m n< D.33m m n n +<+ 10.已知函数()122,0log ,0x a x f x x x ⎧⋅⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）. A.()(),00,1-∞ B.(),0-∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞11.点(),Q x y 在不等式组22211220y x x y x y --⎧⎪⎨--+⎪⎩所确定的区域内运动，点()1,0P -为定点，则线段PQ 的长度的最小值是（ ）.A.22 B.173 C.5 D.35512.已知点O 是ABC △的外心， 6AB =， 10AC =.若AO x AB y AC =+， 且2105x y +=，则ABC △的面积为（ ）.A.24B.2023 C.18或2023D.24或202 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在题中的横线上.开始i =0,S =1,A =2是 否i =i +1 输出A 结束A =1−1Ai >2015？S =S ×A13. 在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若3A π=，1b =，ABC △则a 的值为 .14. 二项式712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是 .15. 若数列{}n a 满足：114a =-，111n n n a a a --⋅=-()1n >，则2015a = . 16. 定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点分别为,A B ，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a bλλ=+-[]()0,1λ∈，向量()1ON OA OB λλ=+-，若不等式MNk 恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是 .答 案13.14.84 15.5 16. 32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1. 解析 (0,2)A =，(,1)(1,)B =-∞-+∞，故[]1,1B =-R.由数轴分析可得(]0,1AB =R．故选C.2. 解析 根据题意可设i z a =+，则z =因为12a -<<，则204a <，所以z ⎡∈⎣．故选B ．3. 解析 如图所示，从图中5个点中任意选出2个点组成一条线段，有25C 10=（种）不同的选择方案，其中距离小于正方形边长的有4种， 则距离大于或等于正方形边长的有6种，其概率为P =63105=.故选A.4. 解析 当1k =时，易推知OAB △的面积为12，充分性成立； 当OAB △的面积为12时，由题可得1OA OB ==， 且11sin 22S OA OB AOB =∠=，所以2AOB π∠=，由图形性质转化到直线l 到圆心O 的距离d 为2，即d ==1k =±，必要性不成立.故选A. 5. 解析 当,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故不在sin y x =的某一单调增区间内，故A 错误；44cos sin y x x =-()()2222cos sin cos sin x x x x =-+22cos sin x x =-cos2x =，即T =π，故B 错误； 把6x π=代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0y =，故C 正确；正切函数没有对称轴，仅有对称中心，故D 错误.故选C.6. 解析 分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π.故选D.2015，继续2015，继续2015，继续2015，继续2015，继续……为周期的循环， 故当20166723i ==⨯时，退出循环，因此2A =.故选D.8. 解析 如图所示，易知2a c +=，即212c e a ===.故选A.9. 解析 由题意得0n m <<，故根据2xy =在R 上单调递增，A 错误；作差比较或根据函数1xy x =+在()1,-+∞上单调递增，B 错误； 由题意得110m n<<，根据ln y x =在()0,+∞上单调递增，C 正确； 根据3y x x =+在R 上单调递增，D 错误.故选C. 评注 问题的本质就是研究函数的单调性.10. 解析 在()0f f x =⎡⎤⎣⎦中令()t f x =，则()0f t =. 若0a =，验证易知此时不符合题意；若0a ≠，分0a >，0a <讨论其图像大致如图所示．由()0f t =知，()1t f x ==，问题转化为()1t f x ==有且仅有一个实数解. 因此当0a <时，此式恒成立；当0a >时，()f x 与y 轴的交点()0,a 必须在1y =的下方，故01a <<. 综上所述：()(),00,1a ∈-∞.故选A.11. 解析 分解问题，211y x --21,123,1y x x y x x -+<⎧⇔⎨-⎩；xyaaa <0a >0123–1–2–3123–1–2–3OxO yc2a +c 2c22220x y x y--+⇔()()22110x y ---⇔()()20x y x y +-⇔- 020x y x y -⎧⎨+-⎩或020x y x y -⎧⎨+-⎩. 画出可行域，如图所示，分析知点P 到直线21y x =-+的距离为PQ 的最小值，故min 5PQ ==.故选D. 评注 ()()22110x y ---也可以等价为11x y --，采用分类讨论解决.12. 解析 解法一：以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设()00A ，，BAC θ∠=，则()6cos ,6sin B θθ，()10,0C . 取AC 的中点D ，连接OD ，则OD AC ⊥. 因为OD OA AD =+12AC xAB y AC =--=12y AC x AB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故OD AC ⋅12y AC xA AC B =⎡⎤⎛⎫--⋅⎪⎢⎥⎝=⎭⎣⎦212A C C y A xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=110060cos 2y x θ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭0=，即c 0106os 5x y θ-=-，把2105x y +=代入化简得6cos 02x x θ-=，得0x =或1cos 3θ=. ①当0x =时，12y =， 所以12AO AC =，所以O 点与D 点重合， 即ABC △为直角三角形，故168242S =⨯⨯=；y =②当1cos 3θ=时，sin 3θ=，故1sin 2S AB AC θ=⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或故选D.解法二（构造法）：延长AB 到点E ，使52AE AB =，取AC 中点D . 因为2512522x AO AB y AC ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225AE xy AD =+， 又因为2105x y +=，即2215xy +=，因此O ，E ，D 三点在一条直线上. 若O 与E 重合，则与O 在AB 的垂直平分线上矛盾；若O 与D 重合，即DA DB DC ==，所以ABC △为直角三角形， 且2B π∠=，故168242S =⨯⨯=； 若O 不与D ，E 重合，则由三点共线知ED AC ⊥. 因为5AD =，15AE =，故1cos 3A =，此时sin A =1sin 2S AB AC A =⨯⨯⨯=综上所述，ABC △的面积为24或故选D.E13. 解析1sin 2S bc A ===，故2c =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，故a =14. 解析 展开式的第1r +项为()7171C 2rrrr T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭7727C 2r r rx --=， 故令723r -=-，即5r =，所以31x的系数为5757C 221484-=⨯=． 15. 分析 通过常规的配凑无法实现，故尝试计算几个观察规律. 解析 因为111n n n a a a --⋅=-，且10n a -≠，故111n n n a a a ---=， 因此25a =，345a =，414a =-，55a =，…， 故数列{}n a 是以3为周期的数列．又因为201536712=⨯+，因此20155a =． 16.解析 由题意得()122M x λλλ=+-⨯=-+， 故12,22M λλλ⎛⎫---⎪-⎝⎭，[]0,1λ∈. ()1ON OA OB λλ=+-()()31,012,2λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭332,22λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3312222MN λλλ=--++-111222λλ=--+-()1132222λλ=-+--．令2t λ=-，则[]1,2t ∈，问题转化为1322t kt +-在[]1,2t ∈恒成立时，求k 的取值范围． 令13()22t g t t =+-，因为()1322t g t t =+-在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，0故()min 32g t g==，()10g =，()20g =，故()max 0g t =，因此1330,222t t ⎡+-∈-⎢⎣，故32k ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.。