8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
8
8
8
8
8
例．计算：
C
3 7
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
1098 7 210 4!
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
例 证明
1、
Cm n1
C m1 n
C
m n1
C
m 1 n1
2、
C
n n
Cn n1
L
C
n n
m
C n1 n m 1
补充例题：
（1）计算C40 C51 C62 C193 ； （2）计算C22 C32 C42 C120 ；
1
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
C C C 组合数性质2
m
m
m1
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m 1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
巩固练习
3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法
的种数是
10
C53
C52
54 2!
10
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
C1300
100 99 98 3 2
161700种
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种?
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C1300 C938 9604 种
例 计算
C ( 1 )
198 ;
200
C 2 200 199 19900
200
21
(2)
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C ( 3 )
3 3 2 .
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
例、（1）求证：Cn+m1 = Cnm+-1Cn-m1+Cn-m1-1
(2)求C22+C23+C42+C52+C62+C72的值
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定 理 1:
m
nm
n
n
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？C
3 8Leabharlann 56②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，
有多少种取法？C
2 7
21
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有
练习：1、 C19000－C8999 =（ ）
A、C11010
B、C
9
99
C、C1909
D、C11020
2、求
C 97 98
2C9986
C 95 98
的值
3、已知 C172 = C171 + C1x1 , 求x的值
4、求C22+C23+C42+C25+C62+…+C1200的值
小结
1.组合数公式:
m 1
m
m 1
n 1
n
n 1
n 1
(2)
C m1 n
C m 1 n
2
C
m n
C . m 1 n2
( 2)
C
m1 n
C
m1 n
2C
（3）求证：Cnn
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
例１ 计算：
C C ( 1 )
3 2;
99
99
C
3 1
0
0
100
99
98
161700
3 21
2C C C ( 2)
3 3 2 .
8
9
8
2
C3 8
(
C
3 8
C
2 8
)
C2 8
C3 8
56
例2 求证:
(1)
C C C C ; m
多少种取法？C
3 7
35
从引例中可以发现一个结论：C3 C 2 C3
8
7
7
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C
2 7
C73
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1, a2 ,L , an1这n 1个不同的元素中取
从2件次品中抽出1件次品的抽法有
C
1 2
从98件合格品中抽出2件的抽法有 C928
C21 • C928 9506
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C21 • C928 C22 • C918 9604 种
出m个元素的组合数是Cnm1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 ,L , an1这n个元素中取出 m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；
不含a1的组合是从a2 , a3 ,L , an1这n个元素中取出
m个元素组成的，共有Cnm个
由分类计数原理，得
(n 1)! m![(n 1) m]!
C .m n 1
组合数性质2：
Cm Cm Cm1
n1
n
n
说明：
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．