一．选择题（共9小题）1．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．2．（2010•台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8B．8.8 C．9.8 D．103．（2008•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．4．（2005•萧山区二模）如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则A、F两点间的距离是（）A．14 B．6+C．8+D．105．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6B．4C．3D．26．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（）A．8B．10 C．11 D．127．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是角平分线，交AC于D点，若BD=2，则AB的长是（）A．2B．C．2D．148．如图，AD，CE为锐角△ABC的两条高，若AB=15，BC=14，CE=11.2，则BD的长为（）A．8B．9C．11 D．129．如图所示，AC上BD，O为垂足，设m=AB2+CD2，n=AD2+BC2，则m，n的大小关系为（）A．m＜n B．m=n C．m＞n D．不确定二．填空题（共9小题）10．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是_________．11．（2013•桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=_________．12．（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是_________．13．（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长_________．14．（2012•顺义区二模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP•PC的值为_________；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为_________．15．（2012•丰润区一模）如图，△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，AC=，则AD的长是_________．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，如果CD=1，那么BD=_________．17．已知在△ABC中，AB=，AC=2，BC边上的高为，那么BC的长是_________．18．如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的高线和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm则DE的长为_________．三．解答题（共10小题）19．（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．20．（2011•广州一模）已知等腰三角形的一边长是10米，面积是30平方米，求这个三角形另两边的长．21．（2008•南汇区一模）如图，已知在△ABC中，AB=6，AC=，∠B=60°．求△ABC的面积．22．如图，已知△ABC，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长．23．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是BC上的高，AB=17，BC=16．（1）求△ABC的面积；（2）求点B到边AC的距离．24．已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h（如图）．求证：．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．（1）若AC=8，BC=6，求AB和AD的长；（2）设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，试说明：a+d＞b+c．26．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．27．如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．28．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠A的平分线AD=10，求BC和AB．2014年4月yuxs的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．解答：解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC===5，∴BC边上的高=3×4÷5=，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S△ABC=×3h+×4h=×5×，解得h=，S△ABD=×3×=BD•，解得BD=．故选A．点评：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．2．（2010•台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8B．8.8 C．9.8 D．10考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．解答：解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5﹣x，在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP===4.8，∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．故选C．点评：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从B向AC作垂线段BP，交AB于P，再利用勾股定理解题即可．3．（2008•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：连接AM，根据等腰三角形三线合一性质可求得AM的长，再根据面积公式即可求得MN的长．解答：解：如图，连接AM．∵AB=AC=5，点M为BC的中点，∴AM⊥CM，∴AM==4，∵AM•MC=AC•MN，∴MN==．故选C．点评：此题考查学生对勾股定理及等腰三角形性质的综合运用．4．（2005•萧山区二模）如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则A、F两点间的距离是（）A．14 B．6+C．8+D．10考点：勾股定理．专题：计算题．分析：先过F作FG⊥AB，交AB延长线于G，根据图易求AG，GF，再利用勾股定理即可求AF．解答：解：如右图所示，过F作FG⊥AB，交AB延长线于G，根据题意，AG=AB+CD+EF=3+3+2=8，GF=BC+DE=4+2=6，在Rt△AGF中，AF==10．故选D．点评：本题考查了勾股定理．解题的关键是作辅助线GF，构造直角三角形．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6B．4C．3D．2考点：直角三角形的性质；角平分线的定义；勾股定理．分析：由题意，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=90°﹣30°=60°，又因为AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD=30°；根据在直角三角形中30度所对的边是斜边的一半，则AD=2CD=2×2=4；又根据勾股定理可求AC的长；又∠B=30°，则AB=2AC=4，则根据勾股定理可求得：BC的长，则利用BD=BC﹣CD即可求出结果．解答：解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠C形的性质可知：AD=2CD=2×2=4，根据勾股定理可得：AC==2，又知，∠B=30°，则AB=2AC=4，则根据勾股定理可得：BC==6，则BD=BC﹣CD=6﹣2=4．故选B．点评：本题考查直角三角形的性质以及勾股定理的应用，还考查了角平分线的定义及应用．6．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（）A．8B．10 C．11 D．12考点：勾股定理．分析：由AB=10，AD=8，BD=6，可知BD⊥AC，根据勾股定理可求出BC．解答：解：∵AB=10，AD=8，BD=6，∴AB2=AD2+BD2，C2=100，BC=10故选B．点评：本题考查了勾股定理和逆定理，属于基础题，关键在于定理的掌握和运用．7．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是角平分线，交AC于D点，若BD=2，则AB的长是（）A．2B．C．2D．14考点：含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；勾股定理．专题：计算题．分析：根据三角形的内角和定理求出∠CBA，求出∠CBD，∠ABD，求出CD，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形性质求出即可．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=180°﹣90°﹣30°=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵BD=2，∴CD=BD=1，由勾股定理得：BC==，∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC=2点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出BC的长是解此题的关键．8．如图，AD，CE为锐角△ABC的两条高，若AB=15，BC=14，CE=11.2，则BD的长为（）A．8B．9C．11 D．12考点：勾股定理；三角形的面积．分析：根据面积相等先求出AD的长，然后根据勾股定理求出BD的长．解答：解：∵在△ABC中，AB=15，BC=14，CE=11.2，∴15×11.2=14•AD，则AD=12．∴BD==9．故选B．点评：本题考查勾股定理的运用，关键是知道三角形面积的求法9．如图所示，AC上BD，O为垂足，设m=AB2+CD2，n=AD2+BC2，则m，n的大小关系为（）A．m＜n B．m=n C．m＞n D．不确定考点：勾股定理．分析：由于AC⊥BD，运用勾股定理分别表示AB2，CD2，AD2，BC2，然后计算m﹣n，即可得出m，n的大小关系．解答：解：∵AC⊥BD，∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2．∴m﹣n=AB2+CD2﹣AD2﹣BC2=OA2+OB2+OC2+OD2﹣（OA2+OD2+OB2+OC2）=0，∴m=n．故选B．点评：本题考查勾股定理的运用，难度中等，将斜边的平方等量转化为两直角边的平方和是解题的关键．二．填空题（共9小题）10．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是6或2．考点：图形的剪拼；勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．解答：解：①如图所示：，连接CD，CD==，∵D为AB中点，∴AB=2CD=2；②如图所示：，连接EF，EF==3，∵E为AB中点，∴AB=2EF=6，故答案为：6或2．点评：此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．11．（2013•桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=3．考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长．解答：解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE==3，故答案为：3．点评：本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单．12．（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4或4．考点：等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解答：解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=AC=×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=；故答案为：或4或4．点评：本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．13．（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长6或2或4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．专题：分类讨论．分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．解答：解：①如图1，当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，则BD=CD=3，故底边长为6；②如图2，△ABC为锐角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=2，∴BC==2，∴此时底边长为2；③如图3，△ABC为钝角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=8，∴BC==4，∴此时底边长2或4．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论．14．（2012•顺义区二模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP•PC的值为4；若BC 边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为400．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：第一个空可通过构建直角三角形利用勾股定理和等腰直角三角形的性质证明∴AB2=AP2+BP•PC即可；第二个空可作D．根据勾股定理，得AP i2=AD2+DP i2=AD2+（BD﹣BP i）2=AD2+BD2﹣2BD•BP i+BP i2，P i B•P i C=P i B•（BC﹣P i B）=2BD•BP i﹣BP i2，从而求得M i=AD2+BD2，即可求解．解答：解：过A作AF⊥BC于F．在Rt△ABF中，AF2=AB2﹣BF2；在Rt△APF中，AF2=AP2﹣FP2；∴AB2﹣BF2=AP2﹣FP2；即AB2=AP2+BF2﹣FP2=AP2+（BF+FP）（BF﹣FP）；∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=FC；∴BF﹣FP=CF﹣FP=PC；∴AB2=AP2+BP•PC=4，故答案为：4；作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．根据勾股定理，得AP i2=AD2+DP i2=AD2+（BD﹣BP i）2=AD2+BD2﹣2BD•BP i+BP i2，又P i B•P i C=P i B•=2BD•BP i﹣BP i2，∴M i=AD2+BD2=AB2=4，∴M1+M2+…+M100=4×100=400．故答案为：400．点评：此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的．15．（2012•丰润区一模）如图，△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，AC=，则AD的长是2．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．分析：由∠B=30°，可求出角平分线可求出∠CAD=30°，根据锐角三角函数求AD即可．解答：解：∵△ABC中∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=30°，∵AC=，∴cos∠CAD==，∴AD=2，故答案为2．点评：本题主要考查对三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能求出∠CAD的度数是解此题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，如果CD=1，那么BD=．考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，再求出直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，∴DE=CD=1，∵AC=BC，∠C=90°，∴∠B=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD=DE=．故答案为：．点评：本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系．17．已知在△ABC中，AB=，AC=2，BC边上的高为，那么BC的长是4cm或2cm．考点：勾股定理．分析：首先应分两种情况进行讨论，∠C是锐角和钝角两种情况．在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理求得BD，CD的长，当∠C是锐角时，∠C是钝角时，BC=BD﹣CD，据此即可求解．解答：解：在直角△ABD中，BD===3；在直角△ACD中，CD===1．当∠C是锐角时（如图1），D在线段BC上，BC=BD+CD=3+1=4；当∠C是钝角时，D在线段BC的延长线上时（如图2），BC=BD﹣CD=3﹣1=2cm．则BC的长是4cm或2cm．故答案是：4cm或2cm．点评：本题主要考查了利用勾股定理解决一般三角形的计算，转化为直角三角形的运算，关键是注意到分情况讨论，容易忽视的是第二种18．如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的高线和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm则DE的长为2cm．考点：勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：E为BC中点，BC=8cm，所以BD=4+DE，CD=4﹣DE，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理分别表示出AD的长度，令两式相等，即可求出ED的长度．解答：解：在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=92﹣（4+DE）2在Rt△ADC中，AD2=AC2﹣DC2即AD2=72﹣（4﹣DE）2∴81﹣（4+DE）2=49﹣（4﹣DE）2∴（4+DE）2﹣（4﹣DE）2=32∴8•2DE=32∴DE=2cm，故答案为：2cm．点评：本题考查了勾股定理的应用，首先用DE分别表示出BD和CD的长度，在Rt△ABD和用勾股定理分别表示出AD的长度．令两式相等，即可求出DE的长度三．解答题（共10小题）19．（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．分析：先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴AD=DB，又∵Rt△CBD中，CD=5cm，∴BD=10cm，∴BC===5cm，∴AB=2BC=10cm．点评：本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．20．（2011•广州一模）已知等腰三角形的一边长是10米，面积是30平方米，求这个三角形另两边的长．考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：等腰三角形的一边长为10m，这条边长可能是腰，也可能是底，因此要分类讨论解答：解：分三种情况计算．不妨设AB=10m，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则S△ABC=AB•CD，∴CD=6m．（1）当AB为底边时，AD=DB=5m（如图①）．AC=BC=m；（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时（图②）AB=AC=10m，AD==8m，BD=2m，BC==2m；（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时（图③）．AB=BC=10m，BD==8m，AC==6m．所以另两边的长分别为m、m，或10m、2m，或10m、6m．点评：本题考查等腰三角形的性质，关键是知道分三种情况讨论，然后根据不同的情况求值得到结果．21．（2008•南汇区一模）如图，已知在△ABC中，AB=6，AC=，∠B=60°．求△ABC的面积．专题：计算题．分析：作AH⊥BC，垂足为点H，在Rt△ABH中，利用∠B=60°先求出AH及BH的长，然后在Rt△ACH中利用勾股定理求出CH的长，从而根据三角形的面积=BC•AH可得出答案．解答：解：作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∵∠B=60°，AB=6，∴BH=3，，在Rt△ACH中，∵AC=，∴，∴BC=8，∴S△ABC=．点评：本题考查了三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到球线段BC的长度及线段AH的长度上来．22．如图，已知△ABC，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD=BC，设BD=x，根据三角形的周长表示出AB，然后利用勾股定理列式求出BD的长，再求出BC的长．解答：解：如图，∵AD是底边BC上的高，∴BD=BC，设BD=x，∵△ABC的周长为16，∴AB+BD=×16=8，∴AB=8﹣x，在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，∴AB=8﹣3=5，BC=2BD=2×3=6，∴△ABC的边AB、AC的长度均为5，边BC的长度为6．点评：本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．23．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是BC上的高，AB=17，BC=16．（1）求△ABC的面积；（2）求点B到边AC的距离．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：（1）在直角△ABD中，利用勾股定理即可求得AD的长，即△ABC中BC边上的高，利用三角形的面积公式即可求解；（2）点B到边AC的距离，即△ABC中，AC边上的高长，根据三角形的面积公式即可求解．解答：解：（1）∵∠ABC=∠C，∴AB=AC=17，（1分）∵AD是BC上的高，∴BD=DC=8，（2分）∵（3分）∴△ABC的面积=BC•AD=．（4分）（2）设B到AC的距离为h，∵△ABC的面积=AC•h=，∴．（6分）点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，三线合一定理，正确根据勾股定理求得AD的长是解题的关键．24．已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h（如图）．求证：．考点：勾股定理．专题：证明题．分析：将左边通分后用c2代替a2+b2，再根据等面积的不同表示形式可得出即ab=ch，将h代入右边可得出结论．解答：证明：左边==∵在直角三角形中，a2+b2=c2，又∵即ab=ch∴=右边即证得：．点评：本题考查勾股定理及三角形的面积，属于中等难度的试题，解答此类题目的方法就是两边凑，从而最终得出要证的结论．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．（1）若AC=8，BC=6，求AB和AD的长；（2）设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，试说明：a+d＞b+c．考点：勾股定理；三角形的面积；直角三角形的性质．分析：（1）根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可；（2）先由a2=b2+c2，ad=bc得出（a+d）2＞（b+c）2，再由a、d、b、c均大于零得出结论．解答：解：（1）由勾股定理AB=10（3分）由三角形面积公式，得AB•CD=AC•BC则CD=4.8 （4分）∴AD=6.4；（6分）（2）∵a2=b2+c2（7分）ad=bc（8分）∴a2+2ad=b2+c2+2bc（9分）∴a2+2ad=（b+c）2∴a2+2ad+d2＞（b+c）2（10分）∴（a+d）2＞（b+c）2（11分）又∵a、d、b、c均大于零∴a+d＞b+c．（12分）点评：此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．26．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．考点：勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再根据勾股定理列式求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据BC=CD+BD代入数据计算即可得解．解答：解：∵∠C=60°，AD是BC边上的高，∴∠CAD=90°﹣60°=30°，∴CD=AC=×4=2，在Rt△ACD中，AD===2，在Rt△ABD中，BD===6，∴BC=CD+BD=2+6=8．点评：本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，是基础题．27．如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．解答：解：过C作CE⊥AB于E，设DE=x，则AE=2﹣x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，∴CE=x，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2，∴（2﹣x）2+（x）2=（）2，解得：，∴BE=CE=，又∠BEC=90°，∴∠BCE=45°，又∠DCE=90°﹣∠ADC=90°﹣60°=30°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=15°．点评：本题考查勾股定理的知识，有一定难度，关键是正确作出辅助线，平时应注意多总结这类题目的解题思路及勾股定理的灵活运用．28．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠A的平分线AD=10，求BC和AB．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．分析：本题利用勾股定理与三角形内角与外角的关系即可解答．解答：解：在Rt△ADC中，∵AC=15，AD=10，∴CD==5，∴CD=AD，∠DAC=30°∴∠BAC=60°．∴∠B=90°﹣∠BAC=30°∴AB=2AC=30，BC===15．点评：本题主要考查了勾股定理和30°角直角三角形边的关系，熟练掌握定理是解题的关键．。