n
S (T ) sup f ( i )xi ,
i
i 1
s(T ) inf f ( i )xi . .
i
i 1
n
性质2 设 T 为分割T添加p个新分点后所得到的分割， 则 S (T ) S (T ) S (T ) ( M m ) p || T ||, s(T) s(T ) s(T ) ( M m ) p || T || . 增加分点后，上和不增，下和不减，从而振幅不增。
k
例 证
证明黎曼函数在[0，1]上可积，且定积分等于0。
1 , f ( x) q 0,
p x p、q互素, p q , q x 0,1以及(0,1)内的为任意两个分割， T T T
表示把 T 与 T 的所有分点合并而得的分割，则
S (T ) S (T ), s(T ) s(T ), S (T ) S (T ), s(T ) s(T ).
性质4
对任意两个分割 T 与T ，总有
S (T ) s(T ) ,即 i xi .
i 1 n
定理9.16 （可积的第三充要条件）
函数f在[a,b]上可积的充要条件是： 、 0, 分割T ,
使得属于T的所有小区间中， 对应于振幅 k 的那些小区间 k 的总长 xk .
s(T ) S (T ).
性质5
m (b a ) s S M (b a ).
S inf S (T ), s sup s(T ).
T T
性质6（达布定理）
||T || 0
lim S (T ) S , lim s(T ) s .
||T || 0
其中S inf S (T ), s sup s(T ).分别称为上、下积分。
T T
二 、可积的充要条件
定理9.14 （可积的第一充要条件） 函数f在[a,b]上可积的充要条件是：f在[a,b] 上的上积分与下积分相等，即S=s。
定理9.15 （可积的第二充要条件）
函数f在[a,b]上可积的充要条件是： 0, 总存在某一 分割T，使得
分割T的下和 （达布下和）
n
i i , i 1,2,, n, 显然有 s(T ) f ( i )xi S (T ).
i 1
注：达布和只与分割T有关，而与点集 { i }无关。
§6 可积性理论补叙
一、上和与下和的性质
性质1 对同一个分割T，相对于任何点集 i 而言，
设T=
i | i 1,2,, n
x i
n
为对[a,b]的任一分割。
x i
记 M i sup f ( x ),
i 1
mi inf f ( x ), i 1,2,, n.
s(T ) mi xi ,
i 1 n
令 S (T ) M i xi ,
分割T的上和 （达布上和）