点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）一、复习目标：1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆；3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题；二、复习重点和难点：复习重点：1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。
复习难点：1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。
三、复习过程：（一）知识梳理：1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相离⇔d＞r3.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，•再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”（二）典例精析：例1、如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆与点C ，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ ．【分析】连接OC ，则由直线PC 是圆的切线，得OC⊥PC。
设圆的半径为x ，则在Rt△OPC 中，PC=3，OC= x ，OP=1＋x ，根据地勾股定理，得OP 2=OC 2＋PC 2，即（1＋x ）2= x 2＋32，解得x=4。
即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC 2=PA•PB 求得PA=9，再由AB=PA －PB 求出直径，从而求得半径】 例2、如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BC∥OA，⊙P 分别与OA 、OC 、BC 相切于点E 、D 、B ，与AB 交于点F ．已知A （2，0），B （1，2），则tan∠FDE= ▲ ．【分析】连接PB 、PE ．∵⊙P 分别与OA 、BC 相切于点E 、B ，∴PB⊥BC，PE⊥OA。
∵BC∥OA，∴B、P 、E 在一条直线上。
∵A（2，0），B （1，2），∴AE=1，BE=2。
∴AE 1tan ABE BE 2∠==。
∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=12。
例3、（1）如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值范围是(C)A ．－1≤x ≤1B ．2-≤x ≤2C ．0≤x ≤2D ．x ＞2（2）如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）．A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交例4、如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，错误！未找到引用源。
．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．【分析】（1）连接OB 、OP ，由错误！未找到引用源。
，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。
（2）设PB a =，则BD=a 2，根据切线长定理得到PA=PB a =，根据勾股定理得到AD=22a ，又BC∥OP，得到DC=2CO ，得到1DC CA 2222a a ==⨯=，则2OA 2a =，利用勾股定理求出OP ，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA 的值。
【答案】（1）证明：连接OB 、OP ∵DB DC 2DP DO 3==且∠D=∠D，∴ △BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。
∴BC∥OP 。
∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC，∴∠O CB=∠CBO。
∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA， OP=OP ， ∴△BOP≌△AOP（SAS ）。
∴∠PBO=∠PAO。
又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°。
∴ 直线PB 是⊙O 的切线 。
（2）由（1）知∠BCO =∠P OA 。
设PB a =，则BD=a 2，又∵PA=PB a =，∴AD=22a 。
又∵ BC∥OP ，∴DC 2CO =。
∴1DC CA 2222a a ==⨯=。
∴2OA 2a = 。
∴6OP 2a = ∴cos∠BCA=co s∠POA=33。
例5（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D ．（1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使BC=错误！未找到引用源。
CD ，请说明你的理由．【分析】（1）由直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF 的长。
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF 与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得错误！未找到引用源。
，又由AB=BC ，即可证得CD=CE 。
（3）由CE=CD ，可得BC=错误！未找到引用源。
CD=错误！未找到引用源。
CE ，然后在Rt△BCE 中，求得tan∠CBE 的值，即可求得∠CBE 的度数，则可得F 在⊙O 的下半圆上.解：（1）∵直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，∴∠BCE=90°，又∵BC 为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。
∴∠CFE=∠BCE。
∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。
∴CE EF BE EC =错误！未找到引用源。
∵BE=15，CE=9，即：9EF 159=，解得：EF=275。
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。
同理：∠AFB=∠CFD。
∴△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF，∴CF CD BF BA=错误！未找到引用源。
又∵△CEF∽△BCF，∴CF CE BF BC =错误！未找到引用源。
∴CD CE BA BC=错误！未找到引用源。
又∵AB=BC，∴CE=CD。
（3）当F 在⊙O 的下半圆上，且⌒BF=32⌒BC 时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使BC=错误！未找到引用源。
CD 。
理由如下：∵CE=CD，∴BC=错误！未找到引用源。
CD=错误！未找到引用源。
CE 。
在Rt△BCE 中，tan∠CBE=CE 1BC 3=错误！未找到引用源。
， ∴∠CBE=30°，⌒CF 所对圆心角为60°。
∴F 在⊙O 的下半圆上，且⌒BF=32⌒BC 。
例6、（2010•安顺）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D作DE∥BC，DE 交AB 的延长线于点E ，连接AD 、BD ．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O 的半径。
方法点拨：（1）根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，等量代换即可得到∠ADB=∠E；（2）当点D 运动到弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线，利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（3）连结BO 、AO 、并延长AO 交BC 于点F 。
据题意可得AF⊥BC，然后在Rt△OBF 中根据勾股定理即可求得⊙O 的半径为25/8。
例7、在平面直角坐标系中，直线y kx b =+（k 为常数且k ≠0）分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，⊙O 半径为5个单位长度．⑴如图甲，若点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，且OA=OB ．①求k 的值；②若b =4，点P 为直线y kx b =+上的动点，过点P 作⊙O 的切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，当PC ⊥PD 时，求点P 的坐标． ⑵若12k =-，直线y kx b =+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b 的值．（图乙供选用）【答案】⑴①根据题意得：B 的坐标为（0，b ），∴OA =OB =b ，∴A 的坐标为（b ，0），代入y ＝kx ＋b 得k ＝－1.②过P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连结OD .∵PC 、PD 是⊙O 的两条切线，∠CPD =90°，∴∠OPD =∠OPC =12∠CPD =45°， ∵∠PD O =90°，，∠POD =∠OPD ＝45°，∴OD ＝PD ＝5，OP =10.甲yxPDO CBA 乙yx O∵P 在直线y ＝－x ＋4上，设P （m ，－m ＋4），则OF =m ，PF =－m ＋4， ∵∠PFO =90°， OF 2＋PF 2＝PO 2，∴ m 2＋ (－m ＋4)2＝（10）2，解得m=1或3，∴P 的坐标为（1，3）或（3，1）⑵分两种情形，y ＝－12x ＋54，或y ＝－12x －54。
直线y kx b =+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC ，可得弦心距OC =52，又∵直线y kx b =+中12k =-∴直线与x 轴交角的正切值为12，即12OC AC =，∴AC=5，进而可得AO=52，即直线与与x 轴交于点（52，0）．所以直线与y 轴交于点（54，0），所以b 的值为54． 当直线与x 轴、y 轴的负半轴相交，同理可求得b 的值为54-．综合以上得：b 的值为54或54-．。