直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量 － 的质量流量
dz dx
vx dydz
vx dx dydz vx x
＝
微元体内的 质量变化率
x y 微元体及其表面的质量通量
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的 质量差：
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
1 p duy fy y dt
fz
1 p duz z dt
u x u x u x u x 1 ux uy uz X t x y z u y u y u y u y 1 ux uy uz Y t x y z u z u z u z u z 1 ux uy uz Z t x y z
( ) 0 t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
矢量形式：
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
若流体不可压缩： vx v y vz 0 x y z
vz vx z dz
v y vx y
z
dy
v y vx
dy
动量流量
动量通量
dx dz
vx vx
vx vx
vx vx x
x
流通面积
dx
＝ 动量流量
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向 x方向，即 分速度vx的方向。
1 u z u y u y u x ( ) y ( x z ) 2 y z 2 z x
1 u y u x z ( ) 2 x y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
1 u z u y x ( ) 2 y z
1 u y u x 1 u x u z ) y ( ) z ( 2 z x 2 x y
•角变形速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的 夹角的变形速度
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
方程的物理意义：
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点 加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
D V Vi Dt t t xi
(3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
应力状态及切应力互等定律
zz
yz
yz y dy
zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
本构方程和NS方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
xz yz zz z z z z x y z fz x y z y z t x
注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程， 适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。
( vx ) ( vx ) dx dydzdt dxdydzdt vx dydzdt vx x x
Y方向：
( v y ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt ； Z方向： y z
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
p x
p y
p z
理想流体的运动微分方程 即欧拉运动微分方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体的运动微分方程 以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
DV F P Dt
(1)
这里 ：
DV V V V Dt t
(2)
是流体微团的加速度，微分符号：
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为 ，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生 伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。 • 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
1、质量力：
fxρdxdydz
x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p
p dx x 2
p
p dx x 2
x轴正方向
x轴负方向
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
或：
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 连续性方程 t x y z
粘性流体动力学基础
粘性流体运动微分方程
Navier－Stokes方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
目的
关键：寻求
流体应力与 变形速率之 间的关系
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) z方向： dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
流体的瞬时质量为 X方向的瞬时动量为
dxdydz vx dxdydz
x dxdydz x方向： t
z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y x
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
切应力互等定律
在6个切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。
y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
以应力表示的运动方程
x方向的运动方程： xx yx zx ( x ) x x x x y z fx t x y z x y z y方向的运动方程： y y y y xy yy zy x y z fy t x y z x y z z方向的运动方程：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设： 为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设： 应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性；