2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒍ 动量平衡方程的讨论
2 v x 2 v x 2 v x P v x v x v x v x vx vy vz gx 2 2 2 x y z y z x x
动量蓄积量
对流动量
黏性动量
压 力
重 力
（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现
动量形式 作用力形式
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） 全微分 v v( ,x, y,z)
v v v v dv d dx dy dz x y z
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0
动量收支差量
不稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] 动量收支差量
以vx为准，元体对流动量收支差量为
同理，以vy、vz为准，元体对流动量收支差量为 vx vy、vz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑵ 黏性动量收支差量 黏性动量通量同样由九个分量组成 以vx为准，C、D面上的黏性动量通量为 zx
x方向的速度、x方向的动量通量
对流动量收支差量为
( v x v x ) dx dy dz x x x
同理，以vx为准，y方向、z方向的对流动量收支差量：
( v y v x ) y dx dy dz
xy

( v z v x ) dx dy dz z x z
( v x v x ) ( v y v x ) ( v z v x ) dx dy dz x y z
Y
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑴ 对流动量收支差量 在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九 个动量通量。
v x v x v y v x v z v x
vx vy vy vy vz vy
表面力 作用力 体积力
压力
重力
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据
牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
vx vx vx vx 2vx 2vx 2vx p ( vx vy vz ) ( 2 2 2 ) g x x y z x y z x
⑵ 适用条件 黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围 内)、层流流动
2.4 理想流体动量平衡方程欧拉方程 （Eular equations）
理想流体： 没有黏性的流体
0
思 考
①
实际流体都具有黏性，提出理想流体 的意义何在？
简化：
0
时，N-S方程简化为欧拉方程
v 0
② 稳定流动， ③ 单位质量流体
适用条件
理想流体、稳定流动、不可
压缩流体(元体范围内)
总 结
一、本课的基本要求 1．了解N-S方程的建立依据、推导方法、适用条件。 2．掌握N-S方程的物理意义。 3．了解欧拉方程的适用条件。 二、本课的重点、难点 重点：N-S方程的物理意义。 难点：N-S方程的推导方法。 三、作业 思考题：N-S方程对紊流流动是否适用？
黏性动量通量收支差量 黏性动量收支差量


zx dz z
C
zx D zx
C

zx dz z
yx dx dy dz xx dx dy dz 同理，vx在y、x方向的黏性动量收支差量分别为 y x
zx dx dy dz z
以vx为准，元体黏性动量收支差量为 牛顿流体： zx v x
z
xx yx zx dx dy dz z y z
同理，以vy、vz为准的黏性动量收支差量为x y、z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2 v x 2 v x 2 v x P ax gx 2 2 2 y z x x
2 v y 2 v y 2 v y P ay gy 2 2 2 y z y x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒉ 动量传递方式
1 黏性动量传输 黏性动量通量
yx
dvx dy
2 对流动量传输
对流动量传输
vv
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） ⒊ 作用力的形式
vx vz vy vz vz vz
动量通量收支差量
以vx为准：动量通量
vx vx
A
( v x v x ) vx vx dx x B

( v x v x ) dx x x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
dv v v v v vx v y vz d x y z
a v v v v vx v y vz x y z
v x v x v x v x ax vx vy vz x y z
g z dx dy dz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） ⑷ 动量蓄积量
x方向
( v x ) dx dy dz
单位时间内元体动量的变化量
( v y )
y方向

dx dy dz
z方向
( vz ) dx dy dz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒌ 动量平衡方程式
将以上式子代入下式，整理得：N-S方程 [动量传入量] [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] 动量收支差量
简化：
⑴ ⑵
const
，牛顿黏性定律
const ，连续性方程
⑶ 作用力的总和 x方向：PA
P PB PA dx x
z B A y o x
PA
P PA dx x
x方向合压力为Βιβλιοθήκη x方向的总压力为PA PB
P dx x

P dx dy dz x
同理，y、z方向的总压力为x y、z 重力
g x dx dy dz
g y dx dy dz
p ( vx vy vz ) ( 2 2 2 ) g y x y z x y z x v y v y v y v y 2v y 2v y 2v y
vz vz vz vz 2vz 2vz 2vz p ( vx vy vz ) ( 2 2 2 ) g z x y z x y z x
2 v z 2 v z 2 v z P az gz 2 2 2 y z z x
惯 性 力 黏性力 压 力 重 力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） 1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式
动量形式 根据牛顿第二定律：
mdv F ma d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡