令 ( x, y) C ，或
d 0
积分
( x, y )
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线 等势线方程式
例题2：已知某二维液流流速场为
ux U uy 0
要求：（1）证明该平面流动为势流； （2）求其等势线方程式。
1 u y ux )0 解：（1） z ( 2 x y
若平面流动是无旋流（亦即有势流）时，有
1 u y ux z ( )0 2 x y
即
ux
u y x

ux 0 y
将
y 代入上式，得： uy x
2 2 2 0 2 x y
拉普拉斯方程
三、恒定平面势流的流速势函数及等势线
无旋流
例题1：已知某二维液流流速场为
解：由 d uy dx ux dy Udy 积分得： Uy C1
ux U uy 0
y
求其流线方程式
5 4 2
令 C2，即得流线方程式
y C2 C1 C U U
1
0
x
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于该两
p p ( ) 2 r
（ b）
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图b所示。最后，上式中C的确定： 由单位深度（z=1）的流量
2 2 C Q ur rd rd 2C 0 0 r Q C 2 称为平面点源（汇）强度。
ux y uy x
其中
（二）流函数的性质 流函数的性质之一：同一流线上各点的流函数值为常数。
值相等的点连
等流函数线——某一时刻，把流函数 接起来所得的曲线
等流函数线方程式为 C或d 0 即有 d uy dx ux dy 0 恰好为流线方程式
（1）问是无旋流还是有旋流； （2）若是无旋流，求其速度势； （3）求平面流动的流函数； （4）求压强分布。
ux
Cx ; 2 2 x y
uy
Cy ; 2 2 x y
uz 0
y
u
y
u=ur u
解：（1） 因
u
x 2Cxy y ( x2 y 2 )2
u
2Cyx y x ( x2 y 2 )2
Y
A
O
r X
q 2u 0
(c)
•
叠加后的流动流速场 x q q cos u u u x x 0 2 ( x 2 y 2 ) 0 2 r y q q sin u y y 2 ( x 2 y 2 ) 2 r
Y
•通过驻点的流线方程
驻点A
所以该液流为平面势流。
（2）依 d ( x, y) ux dx u y dy Udx 积分得： ( x, y) Ux C1 令 ( x, y) C2 则得等势线方程式为 x
C2 C1 C U U
y
0 1 2 3 4 5
x
流函数与流速势函数的关系
流线的流函数值之差。
y
证明：通过ds段的微小流量为
a
ds
M
dx
dy
ux
a
b
x
dq ux dy uy dx
所以通过曲线ab的流量为
详见教材P96
b
uy
a
q dq ux dy u y dx d a b
b b b
a
a
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
u x u y y x
；
二、恒定平面流的流函数及其性质 （一）流函数的形式
ux u y 0 不可压缩恒定平面势流的连续性方程式为 x y 流函数 ux (u y ) 也即： 必存在一函数 ( x, y) x y dx dy u y dx u x dy 且其全微分可记为 d x y
该流网如图a所示。 点源流：
1 u0 x 1 u0 y

3q 8
y
u=ur u
x r x q q 1 d 2 u r dr u rd dr 2 ln r 2 =0 2r 2 3 q q d 2 ur rd u dr d 2 2 2 58q 即流线是辐射线，等势线是一簇与流线正交的同心圆（图b）。 (b)
从上式中可见，流线是一簇通过原点的射线（ =Const ）由此说明了等 势线与流线互相正交。
（4）由平面势流流场的伯努利方程，若不计重力的影响，应
将 u C 代入整理得
u2 C1 2g p
p
r
p C设r时u=0，p=p则C´= p ，于是 C 2
r
2
x
x
u y
u u u z z x 0 z y x z
1

∴
x y z 0
为无旋流。
(a)
（2）对于点源汇流动，为方便起见采用极坐标示（如图a），此时：
u 0
2 2 ur u u x uy
C x2 y 2

C r
因： d ux dx u y dy
例1：求均匀流与点源流动叠加后的流动
(1)均匀流： ux u0 (常数),u y 0 (2)点源流：ur q / 2r, u 0 y C 1 2 3 4 3 C 2 1 (a) x u
y
解：
叠加后的流速势函数与流函数
均匀流：
d1 u x dx u y dy u0 dx d 1 u y dx u x dy u0 dy
叠加后的流速势函数与流函数（图c）
q q q ln r u0 r cos ln r u0 x ln x 2 y 2 2 2 2 q q 1 2 u0 y u0 r sin 2 2
1 2 u0 x
ux dy 其上任意点的斜率 m2 dx uy uy ux m1 m2 ( ) 1 所以流线与等势线在该点上正交 ux uy
五、势流叠加原理 势流叠加原理： 流速势可以进行叠加。 当几个势流叠加后，其流动仍为势流。
先看下源流和汇流的速度势和流函数的极坐标表达式（P99）
参考教材P104，设定角度 值
q 2u 0
(c)
结论：通过驻点的流线将流场分为两部分；由均匀流引起的这部分流
量皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内 流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且仅考察其外部 绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。
例2：对于下面平面点源汇流动：
0
存在流速势函数 ( x, y, z)
dx dy dz ux dx u y dy u z dz 且有 d ( x, y, z ) x y z
对于平面势流，则有二维流速势函数 ( x, y )
x uy y ux
d ( x, y) dx dy ux dx u y dy x y
ux 0, u y 0
,r
q 2u0
则： A
r X
O
通过驻点的流线为：
u0 r sin
或
q C 2
q u0 y C 2
q 2u 0
(c)
通过驻点
A(
q q , ) 则有： C 2u0 2
A
Y
通过驻点的流线：
O
r
X
q q u0 r sin 2 2
流函数与流速势函数为共轭函数
ux y uy x ux x uy y
ux x y uy y x
等流函数线与等流速势线相正交，即流线与等势线正交。
证明：等流函数线就是流线，其方程式为 d uy dx ux dy 0 dy u y 其上任意点的斜率 m1 dx ux 等流速势线就是等势线，其方程式为 d ( x, y) ux dx u y dy 0
第十讲
第四章
流体动力学
§4.6 恒定平面势流 流函数及其性质 流速势函数及等势线 势流叠加原理
§4.6 恒定平面势流
一、基本方程组
不可压缩恒定平面流动：
1、平面流动，即
uz 0
；
2、不可压缩液体，即=Const 。 3、连续性方程：
ux uy 0 x y
4、平面无旋流动，即
z 0
d u y dx ux dy
Cy Cx u y dx u x dy 2 dx 2 dy 2 2 x y x y y d( ) xdy ydx x C tg 1 y Const C Const C 2 C y2 x y2 x 1 ( ) x

u x dx u y dy u dr ur dr u rd
C dr C ln r C C ln x 2 y 2 C r


上式中积分常数可任意给定，现取积分常数 C/ 等于0，由该式可见，等势线 是一簇以原点为圆心的同心圆（r=Const） (3) 因：