江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试卷一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．602. 若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在 圆x 2＋y 2＝9内的概率为( )A. 19B.29C.16D. 5363. 已知△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形 4. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.235. 过点(0，－2)的直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－34B. ⎝⎛⎭⎫－24，24C. ⎝⎛⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－18，186. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重. 恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕. 恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕。

下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（ ）A. 农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势B . 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多C . 1995年我国农村居民初步达到小康标准D . 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6% 7. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离 水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．51米B ．251米 C.14米 D ．15米8. 已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =1，b =3， 则c 的取值范围是（ ）A. )4,2(B. ]3,22(C. )10,3[D. )10,22(二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. 某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x （单位：万元）与年家庭消费y （单位：万元）的数据，制作了对照表：x / 万元 2.7 2.8 3.1 3.5 3.9 y / 万元1.41.51.61.82.2由表中数据得回归直线方程为a x y+=5.0ˆ，得到下列结论，其中正确的是（ ） A. 若某户年可支配收入4万元为时，则年家庭消费约为2.3万元 B. 若某户年可支配收入4万元为时，则年家庭消费约为2.1万元C. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元D. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元10. 已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与CD 平行，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ． 1D ．211. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则B 的值为( ) A ．3π B ．π32 C ． 6π D ．π6512. 已知圆C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝25与圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)相内切，则r 等于( )A ．5＋2 2B ．－5＋22C ．5－2 2D ．－5－22三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

请把答案直接填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．。

13. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数为 ，方差为 .14. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为14， 得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是12，则任取一球得到黄球的概率为 . 15. 在△ABC 中，C ＝60°，a ＋b ＝16，则△ABC 的周长l 的最小值是________。

16. 设集合22{(,)|(4)1}A x y x y =-+=，22{(,)|()(2)1}B x y x t y at =-+-+=，若存在实数t ，使得A B ≠∅I ，则实数a 的取值范围是________.四、 解答题：本题共6小题，共70分。

请在答题卡制定区域．．．．．．．内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值．18. (本小题满分12分)在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求： (1)C 的度数； (2)AB 的长度.19. (本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上. (1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．20. (本小题满分12分)如图所示的四边形ABCD 中，已知AB ⊥AD ，∠ABC ＝120°， ∠ACD ＝60°，AD ＝27，设∠ACB ＝θ，C 点到AD 的距离为h . (1)用θ表示h 的解析式； (2)求AB ＋BC 的最大值.21. (本小题满分12分)在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间。

某地区一研究团队从该地区500名A 病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14] 人 数 60岁及以上 2 5 8 7 5 2 1 60岁以下 0224921（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）； （3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.22. (本小题满分12分)已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为2，直线l :3410x y +-=被圆M 截得的弦长为M 在直线l 的上方． （1）求圆M 的方程；（2）设(0,)A t ,(0,6)B t -()24t ≤≤，若圆M 是ABC V 的内切圆，求AC , BC 边所在直线的斜率（用t 表示）； （3）在（2）的条件下求ABC V 的面积S 的最大值及对应的t 值．高一期中考试数学试题答案1.B ；2. A ；3. B ；4.A ；5.C ；6.D ；7.B ；8.D ；9.BD ； 10. BC ； 11.AB ； 12. AC ； 13. 4, 3； 14.16； 15. 24； 16. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.解：(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9. (2)课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125. 18.解：(1)由2cos(A ＋B )＝1，得2cos(π－C )＝1，即cos C ＝－12，故C ＝120°. (2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，所以a ＋b ＝23，ab ＝2， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ＝(23)2－2×2－2×2×cos120°＝10. 所以AB ＝c ＝10.19.解： (1)因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为3-.又因为点(1,1)T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+， 即320x y ++=.(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为(0,2)-．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(2,0)M ． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.20.解：(1)由已知，得∠ADC ＝360°－(90°＋120°＋60°＋θ)＝90°－θ.在△ACD 中，由AD sin ∠ACD ＝AC sin ∠ADC ，得AC ＝27cos θsin60°＝183cos θ. 又∠CAD ＝180°－∠ADC －∠ACD ＝30°＋θ，且0°<θ<60°，所以h ＝AC sin ∠CAD ＝183cos θsin(30°＋θ)(0°<θ<60°). (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝AC sin θsin120°＝18sin2θ，BC ＝AC sin (60°－θ)sin120°＝36cos θsin(60°－θ)＝93＋93cos2θ－9sin2θ， 于是AB ＋BC ＝93＋93cos2θ＋9sin2θ＝93＋18sin(2θ＋60°). 因为0°<θ<60°，所以当θ＝15°时，AB ＋BC 取得最大值93＋18.21.解：（1）调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，因此该地区A 病毒患（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1,2,3,4，潜伏期超过12天的两人编号为：5,6，从六人中抽取两人包括15个基本事件： 1,2；1,3； 1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6. 记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A ，则事件A 包括8个， 答：22.解：（1）设圆心(,0)M a ，由已知得M 到l :3410x y +-=的距离1=,又Q M 在l 的上方，∴310a ->，∴315a -=,∴2=a ，故圆的方程为22(2)4x y -+=. （2）设AC 斜率为1k ，BC 斜率为2k ，则直线AC 的方程为1y k x t =+，直线BC 的方程为26y k x t =+-． 由于圆M 与AC. （3）联立两条直线方程得C 点的横坐标为126k k - Q (6)6AB t t =--=，∴2121161862S k k k k =⨯=--由（2）得：21236=26k k t t-+-Q 24t ≤≤，∴2968t t -≤-≤-∴213546k k ≤-≤，∴3415612≤-≤k k ∴max 24S =，此时268t t -=-，2t =或4t =.综上：ABC V 的面积S 的最大值为24，此时2t =或4t =.。