函的单调性与最值一、知识梳：（阅读教材必修1第27页—第32页）1．对于给定区间D 上的函)(x f ，对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函; 当12x x <时，都有12()()f x f x >， 则称)(x f 是区间D 上减函.2．判断函单调性的常用方法：（1）定义法： （2）导法： （3）利用复合函的单调性; (4) 图象法. 3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函.4.设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函.5.如果)(x f 和)(x g 都是增(或减)函,则在公共定义域内是)()(x g x f +增(或减)函;)(x f 增)(x g 减,则)()(x g x f -是增函;)(x f 减)(x g 增,则差函)()(x g x f -是减函.6．基本初等函的单调性（1）一次函y kx b =+. 当0k >在(),-∞+∞上是增函；当0k <在(),-∞+∞上是减函（2）二次函2(0)y ax bx c a =++≠.当0a >在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函； 当0a <在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函；（3）反比例函(0)ky k x=≠.当0k >在(),0-∞上是减函，在()0,+∞上是减函；当0k <在(),0-∞上是增函，在()0,+∞上是增函。

（4）指函(0,1)x y a a a =>≠.当1a >在(),-∞+∞上是增函；当01a <<在(),-∞+∞上是减函。

（5）指函log (0,1)a y x a a =>≠当1a >在()0,+∞上是增函；当01a <<在()0,+∞上是减函。

7.函的最值对于函y=f(x)，设定义域为A ，则（1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函f(x)的 。

（2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函f(x)的 。

二、题型探究【探究一】：判断证明函的单调性 例1：试判断函2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.例2：下列函中，在区间]0,(-∞上是增函的是（ ） （A ）842+-=x x y （B ） )(log 21x y -= （C ）12+-=x y （D ）x y -=1 探究二：抽象函的单调性例3：【2013师大精典题库】定义在R 上的函f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a 、b ，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x ，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R 上的增函。

例4：函f(x)对任意a 、b ，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。

(1)证明：f(x)是R 上的增函； (2)若f(4)=5,解关于m 的不等式f(3<3.探究三：与单调性有关的参问题例5：若函()y f x =在R 单调递增，且2()()f m f m >-，则实m 的取值范围是（ ）.A (),1-∞- .B ()0,+∞ .C ()1,0- .D (),1-∞-()0,+∞探究四、函的单调性与最值 例6：求下列函的值域 1、 y ＝－x 2－6x －5 2、 y=x+ 3、4、 ,表示不超过x 的最大整例7：12．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a . w w w .x k b 1.c o m①当a＜0时，由图①可知，f(x)＝f(0)＝－1，minf(x)＝f(2)＝3－4a.max②当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)＝f(a)＝－1－a2，minf(x)＝f(2)＝3－4a.max③当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)＝f(a)＝－1－a2，minf(x)＝f(0)＝－1.max④当a＞2时，由图④可知，f(x)＝f(2)＝3－4a，minf(x)＝f(0)＝－1.max综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.三、方法提升1、函的单调性只能在函的定义域内讨论，函在给定的区间的单调性反映函在区间上函值的变趋势，是函在区间上的整体性质，但不一定是函在定义域内上的整体性质，函的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；2、求函的单调区间，首先请注意函的定义域，函的增减区间都是定义域的子区间;其次，掌握基本初等函的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导法；3、 利用函的单调性可以解函不等式、方程及函的最值问题。

四、反思感悟。

五、课时作业一、选择题1. 【15高考改编】函)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A. ),1()0,(+∞-∞ B ),1[]0,(+∞-∞ C.)1,0( D. ]1,0[ 2. 【15高考改编】已知函||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ C ）A. 3B. 2C. 1D. -13.已知偶函()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,324.若偶函)(x f 在(]1,-∞-上是增函，则下列关系式中成立的是 （D ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f5.已知f （x ）是R 上的奇函()f x ，且f （2）=0，x 为单调增函，求x f （x ）的解集（ ）A ．[-2，0] B. C. D.6.偶函 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ）A ．)2()1(+≥+b f a fB ．)2()1(+<+b f a fC ．)2()1(+≤+b f a fD ．)2()1(+>+b f a f7.设a ，b ∈R ，且a ＞0，函f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，g (x )＝ax ＋b ，在[－1，1]上g (x )的最大值为2，则f (2)等于( )．A ．4B ．8C ．10D ．168.函f(x)= x 2+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. [)3,-+∞B. (],3-∞-C. (－∞,5)D.[)3,+∞9.已知函3()log 2,[1,9]f x x x =+∈，则函22[()]()y f x f x =+的最大值是 （ ） A ．22 B ．13 C ．11 D ．－3 10.函xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为m ，则A.4=-m MB.4=+m MC.2=-m MD.2=+m M二、填空题11.函⎩⎨⎧++=762)(x x x f ]1,1[]2,1[-∈∈x x ，则)(x f 的最大值、最小值为。

12. 当x 则函的最大值为 。

13.设x ∈R ，则函f (x ) =16)12(122+-++x x 的最小值为 。

14.已知22x y ++22(8)(6)x y -+-= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。

三、解答题15.求证：函()1f x x x=+，在区间()0,1上是减函。

16.已知函. （1）当12a =时，求函()f x 的最小值； （2）若对任意[2,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求实a 的取值范围。

17.已知函()12(1)x x f x a a a 2=--> （1）求函()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函()f x 的最小值为7-，求a 的值和函()f x 的最大值。

18.对于定义域为D 的函)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函。

（1）求闭函3x y -=符合条件②的区间[b a ,]； （2）判断函)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函？并说明由； （3）判断函2++=x k y 是否为闭函？若是闭函，求实k 的取值范围。

答案解析 一、选择题1.A2.C3.A4.D5.A6.D7.B8.B9.B 10.D 二、填空题11.10,－1 12. 13.13 14.100 + 253，100 – 253。

三、解答题15.解析：设()120,1x x <∈则()()()()()()121212211212121212121211 1 11 f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+---=-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-=-12x x < 120x x -< ()120,1x x ∈ 120x x > 1210x x -<()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴> ∴()1f x x x=+在区间()0,1上是减函。

16.解析：（1）当12a =时，2311()3x x f x x x x ++==++ 易证()y f x =在[2,)+∞上是增函（须证明一下）min 111()(2)2322f x f ∴==++=（2）由()0f x >有2320x x ax ++>对[2,)x ∈+∞恒成立 223a x x ∴>-- 令2()3[2,)g x x x x =--∈+∞ max ()(2)10g x f ∴==- 210a ∴>- 即5a >-（另有讨论法求和函最值法求） 17.解析：设22021(1)2x a t y t t t =>∴=--+=-++（1）1(0,)t =-∉+∞ 221y t t ∴=--+在(0,)+∞上是减函1y ∴< 所以值域为(,1)-∞（2）21[2,1]1[,]x a t a a ∈->∴∈ 由211[,]t a a =-∉ 所以221y t t =--+在21[,]a a上是减函 22172a a a --+=-∴=或4a =-（不合题意舍去） 当2114t a ==时y 有最大值， 即2max 117()214416y =--⨯+=18.解析：（1）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33解得⎩⎨⎧=-=11b a所以，所求的区间为[-1，1] （2）取,10,121==x x 则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函。