二次函数专题讲解一、知识综述：1. 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数， a 0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数2. 二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成： y a x h 2 k 的形式，其中 h b ，k 4ac b 2a3. 求抛物线的顶点、对称轴的方法y a x h 2 k 的形式，得到顶点为 （ h , k ） ，对称轴是直线 x h .4. 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ① y⑤ y ax 2 bx c . 它们的图像特征如下：开口大小与｜ a ｜成反比，｜ a ｜越大，开口越小；｜ a ｜越小，开口越大。
5. 用待定系数法求二次函数的解析式1）一般式： y ax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 2）顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、 x 2 ，通常选用交点式： y a x x 1 x x 2 .6. 二次函数图象的平移左加右减（对 X ），上加下减（对 Y ）。
二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念4a1)公式法： y ax 2 bx c a x b22 2b 4ac b2，∴顶点是（ 2ba ，4ac4a b 2 ），对称轴是直线2a 4ax2a2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为2 2 2 2ax 2 ；② y a x 2k ；③y a x h 2 ；④ ya x h 2 k ；2例1：如果函数y （m 3）x m2 3m 2mx 1是二次函数，那么m的值为考点二：二次函数的图象例2（2016 年广东省广州市）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标2）选取适当的数据填入下表，并在图7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy3）若该抛物线上两点112212 1 2例 3 （2016 年安徽省芜湖市）二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，反比例函数y＝x a与正比例函数y＝（b＋c）xx例 4 （2016 年兰州市）抛物线y x bx c图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，2y x 2x 3，则b、c 的值为（）A . b=2 ，c=2 B. b=2 ，c=0 C . b= -2 ，c=-1 D. b= -3 ，c=2例5.（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图像，?观察图像写出y2≥y1时，x 的取值范围_______ ．变式训练：A ．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位B ．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位C ．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位D ．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 考点三：确定二次函数的解析式12x 2 bx c 的图象经过 A （2，0）、B （0，－6）两点。
242 ）∵该抛物线对称轴为直线 x 41 2 （ ）2∴点 C 的坐标为( 4， 0)∴AC OC OA 4 2 2 11AC OB 2 6 6 22变式训练 ：考点四：最值问题cm ，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式 .并求出 CQ 的最大值。
（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 连结 BA 、 BC ，求△ ABC 的面积。
C ， 解：（1）把 A （2，0）、B （0，－ 6）代入 y 1x 2bx c 2得：2 2b c 0 解得c6 b4c6x∴这个二次函数的解析式为y 1x 24x 62例 6 ：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于 C 点。
点例 4：（ 2016 年宁波市）如图，已知二次函数 y∴ S ABC1、已知：函数 y ax 2 bx c 的图象如图：那么函数解析式为（2A ) y x 2 2x 3B ) y x 2 2x 3C ) yx 22x 3D ) y2x 2x 3例 5：矩形 ABCD 的边 AB =6 cm ， BC =8 cm ，在 BC 上取一点 P ，在 CD 边上取一点Q ，使∠ APQ 成直角，设 BP =x cm ， CQ =y3A,C 的坐标分别是（-1,0）,（0, ）2（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P 是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。
变式训练：1、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是 ______ c m。
2、如图，在Rt⊿ABC中，∠ C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥ AC，DF⊥ BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y 的代数式表示AE；（2）求y 与x之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x 之间的函数关系，并求出S的最大值．考点五：以二次函数为基架的综合题例7 ：某超市经销一种销售成本为每件40 元的商品。
据市场调查分析，如果按每件50 元销售，一周能售出500 件，若销售单价每涨 1 元，每周的销售量就减少10 件。
设销售单价为每件x 元（x≥50）,一周的销售量为y 件。
（1）写出y与x的函数关系式；（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为s，写出s 与x 的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大；（3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？变式训练：某商店经销一种销售成本为每件40 元的商品．据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出210 件；销售单价每涨1 元，则每个月少卖10 件．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？3三、课堂练习21．已知二次函数 y a （x 1）2 b 有最小值 –1，则 a 与 b 之间的大小关系是6．求下列函数的最大值或最小值．22（1） yx 2 2x ； （ 2） y 2x 2 2x 1．7．已知二次函数 y x 2 6x m 的最小值为 1，求 m 的值．8．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x （单位：分）之间满足函数关系：y 0.1x 2 2.6x 43（0 x 30） ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？9．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m ），围成中 2间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 A B 为x m ，面积为 S m 2．A ．a <bB ．a=b C．a > b D 22．（长沙）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像如图所．不能确定?则下列关系式不正确的是（ A ． a<0B ． abc>0C ．a+b+c<02D ．b 2－3．（2008，威海）已知二次函数 2y=ax 2+bx+c 的图像过点 A （1，2），B （3，2），C （ 5，点 M （－2，y 1），N （－ 1， y 2），K （ 8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像上，则下列 结论中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 24．如图所示，抛物线的函数表达式是（）2 2 2 2A ． y=x 2－x+2B ．y=－x 2－x+2C ． y=x 2+x+2D ．y=－x 2+x+225．（，泰安）在同一直角坐标系中，函数 y =mx+m 和 y=－ mx 2+2x+2 （ m 是常数， ?且 m ≠0）图像可能是（ ）1）求S与x 的函数关系式；22）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥ AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=E．F（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，⊿ AGE与⊿ CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S的最小值．1．9 米，当球飞行距离为11．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面达最大高度5．5 米，已知球场长18 米，问这样发球是否会直接把球打出边线？12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？2.5m 时，达到最大13．如图，一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？。