2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）A. i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. -14. 在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ） A.3 B.239 C.233 D.335. 一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.11 8. 若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.1 9. 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A.45π B.34π C.(6π- D.54π10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 13.若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1c o s 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为三.简答题16.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.17、（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.18、（本小题满分12分）已知函数.(1) 当时，求的极值；(2) 若在区间上单调递增，求b 的取值范围.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .（1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图，已知双曲线)0(1222>=-a y ax C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a xx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值 21.（满分14分）随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为1b ，记2112,a a b b ξη=-=- （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1.D2.C3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.A10.C二、选做题：本大题5分11.（1）C11.（2）A三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分12.1213.(ln 2,2)-四、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本小题满分12分） 解：（1）()sin())44f x x x ππ=++(sin cos )2x x x =+cos 22x x =- sin()4x π=- 因为[0,]x π∈，从而3[,]444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2，最小值为-1 （2）由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1θαθαθθα-=⎧⎨--=⎩，又(,)22ππθ∈-知cos 0θ≠ 解得16απθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩17.（本小题满分12分）解：（1）因为11120,0n n n n n n n a b a b b b b +++-+=≠两边同时除以1n n b b +，得到1120n n n n a a b b ++-+=112n nn na ab b ++-= 即：12n nc c +-= 所以，{}n c 是首项为111a b =，公差为2的成差数列 所以，12(1)21n c n n =+-=- （2）121,(21)3n nn n na c n a nb +==-∴=- 2341133353...(23)3(21)3n n n S n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 345123133353...(23)3(21)3n n n S n n ++∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯两式相减，得：23412232(33...3)(21)3n n n S n ++∴-=+⨯+++--⨯218(22)3n n +=---⨯ 29(1)3n n S n +=+-⨯18. （本小题满分12分）解：（1）当b=4时，()(2)f xx =+的定义域为1(,)2-∞2()2((2)f x x x '=++=令()0f x '=，解得122,0x x =-= 当2x <-和102x <<时，()0f x '<，所以()f x 在1(,2),(0,)2-∞-上单调递减； 当20x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,0)-上单调递增； 所以，当2x =-时，()f x 取得极小值(2)0f -=； 当0x =时，()f x 取得极大值(0)4f =（2）依题意，()f x 在1(0,)3上单调递增，所以()0fx '≥，且不恒等于0，22()2((2)f x x b x bx b '=+++-=25230x x bx ∴-++≥253xb -∴≤1(0,)3x ∈1251339b -⨯∴≤= 19.（1）证明：平面⊥PAD 平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又AB AD ⊥ AB ∴⊥平面PAD又PD ⊂平面PADAB PD ∴⊥（2）过P 做PO AD ⊥，由（1）有PO ⊥面ABCD作OM BC ⊥，连接PM ，作PM BC ⊥ 设AB x =1133P ABCD ABCD V OP S OP AB BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯==∴当223x =即x =时，max V =如图建立空间直角坐标系，0,0,,0,,,33333P M C D ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6660,,,,33333PM PC ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭66,0,0,,0,333MC PD ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设面PMC 、面PDC 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==000m PM m PC m MC ⎧⋅=⎪⎪∴⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩111111003330y z x y z x =⎪⎪⎪-+-=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 设11y =，则11z =，(0,1,1)m ∴= 同理可得(1,1,1)n =6cos ,3||||m n m n m n⋅<>== 平面PBC 与平面DPC 20.解：（1）(,),(,)ct A c B t a a-11c t a c t a +-∴⨯=--且1ta a c t=-，即,2ct a ==，即2213x y -= （2）00(2,:1,(2,0)33x x A l y y F -= 00002-323(2,),(,)322x x M N y y -00|23||23|2|23|3x x MF x NF--∴====⋅=-21.解：（1）随机变量ξ取值的所有可能是2，3,4,53641(5)5P C ξ=== 3641(2)5P C ξ=== 3663(3)10P C ξ===3663(4)5P C ξ=== ξ的分布列为：13317()23455101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）事件ξ与η的取值恰好相等的基本事件：共12322462(2)211...()2(3)n n nnC C C C P c n C --++++++=⨯≥2n =时，2422()23P c C =⨯= （3）因为()()1P c P c +=，所以要比较()P c 与()P c 的大小，实际上要比较()P c 与12的大小， 由12322462(2)211...()2(3)n n n nC C C C P c n C--++++++=⨯≥可知，当2n =时，()()P c P c > 当3n ≥时，()()P c P c <。