第五章
质点系动力学
§5.1 质点系动力学方程
设质点系包含 N 个质点，质量分别为 mn , n = 1, ⋯ N 质点 n 受力
F n= F n F n
e i
体系外的物 体施加的力
体系内其他的 质点施加的力
因此，质点系动力学方程为
mn r ¨ n = F n F n , n = 1, ⋯ , N
Ff2
解：它们之间的内力可分解成图示成对的摩擦力和正压力 . 一对摩擦力做功为 :
F f1⋅d r 1 F f2⋅d r 2 = F f1⋅d r 1 − r 2 = F f1⋅v dt 0
一对正压力做功为 :
F N1⋅d r 1 F N2⋅d r 2 = F N1⋅d r 1 − r 2 = F N1⋅v dt = 0
r 1 − r 2 ∥F 12 ⇒ F 12 = f 12 r 1 − r 2 ⇒ F 12⋅[× r 1− r 2]=0 ⇒ F 12⋅v = F 12⋅v '
故这对力做功与参考系无关 . （证毕） 注：如果一对力始终做负功，通常把这对力称为耗散力 . 例如滑动摩擦力
§5.3 动力学基本定理和守恒定律
2
gx
（请在极限情况下检查上式有错误没有） 利用动量定理 F N m1 g m2 g = m1 a1 m2 a 2 可求得
⋯, F N = m2 m1 m2 m1 sin m 2
2
g y , F N m1 m 2 g
z 例题 3 光滑水平面上 O 点有一小孔，不可伸长的轻质 光滑细线穿过该孔，两端分别系上质量 m1 和 m2 的小球 m2 始终限制在水平面内运动， 初始时 m1 静止 , 而 m2 运动 , 试求两个球的运动规律 . 解：建立图示柱坐标系 (ρ, φ, z). m2 ρ O φ x m1 m1g
交换求和顺序： W =∑ ∑ F ln⋅d r l
i n= 1 l =1
N
根据牛顿第三定律 : Fnl=-Fln ⇒ 2 W =∑ ∑ F nl⋅d r n − r l
i n =1 l =1
N
N
r n − r l ∥F nl ⇒ F nl = f nl r n − r l
[ 推论 ] 一对作用力与反作用力做功和与参考系无关 .
证明：一对力与反作用力与坐标系无关，而相对速度
d r 1−r 2 d ' r 1−r 2 v= = × r 1− r 2 dt dt
' ' , , d r − r d r − r , , 1 2 1 2 r 1− r 2= r1− r 2 ⇒ = =v ' dt dt
=
,
∑n m n r n
mt
−OO '
∑n mn ∑n mn r n−OO '
mt = mt
=
∑n mn r ,n
mt
（证毕）
˙ C , aC = v ˙ C =r ¨C [ 定义 ] 质心速度和加速度： vC = r
[ 引理 ] 质点系动量可表示为 : p = mt vC
证明：由质心定义可知
质点 m1 所受内、外力均沿 z 方向，初始静止，根据质点动量定理， 其后运动只能在 z 方向上 . 两质点组成的体系受如下外力作用：重力 m1g, m2g, 水平面对 m2 支撑力 F2. 这些力均平行于 z 轴，所以 M ze= 0 ⇒ L z= const.⇒ 2 = ˙ const. 外力 m2g 和 F2 不做功，内力为绳张力，对二质点做功刚好抵消 （请自己证明这一点）， m1g 为保守力，所以体系机械能守恒 1 1 2 2 2 m1 z ˙ ] m1 g z1 = const. ˙ 1 m2 [ ˙ 2 2
[ 定义 ] 质点系对 O 点角动量
LO=∑n LnO= ∑n r n × p n
z rn O x
mn y
[ 定义 ] 质点系对过 O 点固定轴 el 的角动量 Ll = e l⋅LO
e e ˙ O = M O 质点系对 O 点角动量定理：L =∑n r n × F n
˙ O=∑ L ˙ nO 证明： LO=∑n LnO ⇒ L n
e 证明： F = 0 ⇒ a C = 0 ⇒ vC = const.
如果对于固定方向 el, 有 el⋅F = 0 ⇒ el⋅a C = 0 即 el⋅v ˙ C =0 ⇒
d e l⋅vC = 0 ⇒ el⋅v C = const. （证毕） dt
e
●
角动量定理和角动量守恒定律
∑n mn r n
mt
处的几何点 .
注：质心只是几何点，质心处可能并无任何质点存在
[ 推论 ] 质心的定义不依赖于参考系 .
证明：假定 S 为静止系， S' 为运动参考系， 在 S 系中质心位于 ∑ mn r n
rC=
n
z' z x O r'C rC y O' x' y'
mt
在 S' 中， rC 表示为 r C = rC −OO '
e
（证毕）
F i = ∑n F ni = 0
[ 推论 ] 质点系动量守恒定律：若某一过程中质点系所受 合外力为零，则该过程质点系动量守恒；若合外力沿 某固定方向分量为零，则在该方向上动量守恒 .
（请自证）
[ 定义 ] 质点系质量：
mt =∑n mn
[ 定义 ] 质点系质心：位于 r C =
由于 nl 在求和式中是哑标，所以用什么字母都可以，于是
N i N N N
F = ∑ ∑ F ln
l =1 n = 1
F i = ∑ ∑ F ln
n =1 l =1 N i N
求和可交换顺序
n =1 l = 1
根据牛顿第三定律 : Fnl=-Fln ⇒ 2 F =∑ ∑ F nl F ln = 0
证明：如果非保守内外力均不做功，则动能定理
d T =∑n F n ⋅d r n ∑n F n ⋅d r n
e i
右端项只与保守内外力有关， -dV(e)
e i e
-dV(i)
i
⇒ d [ T V V ]= 0 ⇒ E =T V V = const.（证毕）
⇒ F =0
i
（证毕）
[ 推论 ] 对任意参考点 , 质点系所有质点所受全部 内力矩的矢量和为零 0.
证明：
M = ∑ M =∑ ∑ r n × F nl
i n=1 i n n =1 l =1 N N
N
N
N
Fnl
Fln rl rn
交换哑标： M i = ∑ ∑ r l × F ln
注：这是一个含 3N 个标量的方程组 .
e
i
§5.2 质点系的内力
[ 推论 ] 质点系所有质点所受内力矢量和为 0.
证明：记质点 n 受到来自质点 l 的作用力为 Fnl 并令 Fnn=0 ，则
N i i n =1 N N
F = ∑ F n =∑ ∑ F nl
n= 1 l = 1
例题 2 质量 m1 的滑块 1 ，放在质量 m2 、倾角 α 的光滑尖劈 2 上， 尖劈放在光滑水平面上；初始时滑块与尖劈均静止，在重力作用 下滑块沿斜面下滑，求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力 . 解：系统受图示外力 m1g, m2g 和 FN 作用 . 建立图示坐标系 Oxyz. 所有内力和外力均在 Oxy 面内，且初始 根据两物体均静止，根据动量定理可知 两个物体始终无 z 方向运动。 设 2 以速度 v2 向 x 正向运动， 1 相对 2 以速度 v' 沿斜面方向下滑 . 则 1 的速度可表示为 FN v2 m1g m2g
质点系动能定理：
d T =∑n F n ⋅d r n ∑n F n ⋅d r n
e i
证明：这是质点动能定理的自然推论 . （证毕）
[ 定义 ] 一对保守内力的势能：它满足
F nl⋅d r n F ln⋅d r l =−dV
i i nl i
Fnl
Fln rl rn
˙ nO = r n ×[ F ne F ni ] 质点角动量定理 L
M = ∑n r n × F n = 0
i i
e e ˙ O= M O ⇒L =∑n r n × F n
（证毕）
e ˙ 质点系对固定轴 el 的角动量定理： Ll = M l = e l⋅M O
●
动量定理和动量守恒定律
[ 定义 ] 质点系动量 质点系动量定理：
p = ∑n p n
e
注：本节只考虑惯性参考系
p ˙ = F =∑n F
e n
˙ =∑n p ˙n 证明： p = ∑n p n ⇒ p p ˙ n= F n F n
e i
p ˙ = F =∑n F n
e
2


v'
注意到关系式
y ˙ 1= v1 y=−v ' sin
m2 sin cos m1 sin m 2
2
可求得 ⋯ , a 1 =v ˙ 1 =−
− gx
m1 m 2 sin m 1 sin m2
2
˙ 2= g y , a 2= v
m 1 sin cos m 1 sin m 2
⇒ 4 W i =∑ ∑ f nl d [ r n − r l 2 ]
n =1 l =1
2 i 刚体上任意两点距离不变，故 d [ r n − r l ]= 0 ⇒ W = 0
N
N
注： F nl∥ r n − r l ，但是 F nl 可以∥ d r n − r l 由上述证明可见：质点系所有质点所受全部内力做功之和一般不为零 当两质点间距离不变或者相对速度与它们之间内力正交时做功和为零 例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2 上， 有一可沿斜面以相对尖劈的速度 v 滑动 的重物 1. 以重物和尖劈为质点系， 试分析两者间内力做功情况 . FN1 v Ff1 FN2