∑ m i &y&Ci
&y&C = i=1 m
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理论力学
§6-1 动量定理
例题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长为
L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向如
图），求该瞬时系统的动量和系统质心的速度。
y’
va
u
n
∑ p = m v C = m i v C i i =1
amax = gf
a mg
x
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Fs FN
15
理论力学
§6-1 动量定理
二、质心运动定理
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
矢量式
maC
=
F (e) R
n
∑
F (e) i
=
p& = ∑ m i v& i = m v& C
i =1
质心加速度
a C = v&C
投影式
⎧
∑ ⎪⎪ ∑ ⎨
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理论力学
§6-1 动量定理
问题：刚体系（特殊质点系）的质心矢径如何计算（如黑板）
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ m rC = m i ri i =1
确定两
n
∑ m i ri
nA
nB
∑ ∑ m Ai rAi +
m Bi rBi
个刚体 的质心
rC
= i=1 mA + mB
z Δm
u
v
当 Δt → 0 : Δm , Δv 存在 Δt Δt
0
m
xo
y
有 Δt → 0 : Δm → 0
m
dv dt
=
FR(e)(t)
+
dm dt
(u
−
v)
取：m 为动系 Δm 为动点
vr = u − v
mdv dt
=
FR(e)
+
dm dt
vr
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理论力学
§6-1 动量定理
整理上式可得： Δm(v − u) + mΔv + ΔmΔv = FR(e) (t* )Δt
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
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理论力学
§6-1 动量定理
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
↓
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
t 时刻
例：设火箭初始质量和速度分别为 m0, v0 ，喷出燃气的相对
速度为 vr（常量），燃烧时间为 τ ，燃烧后火箭的质量为 mτ
求火箭燃烧完瞬时的速度 vτ（不计空气阻力，重力为常力）。
v y
解：
m
dv dt
=
mg
+
dm dt
vr
vr :2 ~ 3km/s
y:
m
dv dt
=
− mg
+
dm dt
(−vr )
∑ ∫ pt2 −
p t1
=
I
(e) i
i =1
=
t1
F
(e) R
d
t
是作用在第 i
个t1 质点 上外力的冲量
动量守恒情况
当：t ∈[t1,t2 ],t2
>
t1,
F (e) R
(t)
≡
0
则：p(t) = p0
n
∑ 当： t ∈[t1, t2 ], t2 > t1,
F (e) ix
(t
)
=
0
则：px (t)
d
t
i =1
t1Βιβλιοθήκη xt 时刻z Δm
u
v
m
o
y
t + Δ t 时刻
v + Δv
m + Δm
pt1 = pt = mv + Δmu,
pt2 = pt+Δt = (m + Δm)(v + Δv )
pt+Δt − pt = (m + Δm)(v + Δv) − mv − Δmu = FR(e) (t*)Δt, t* ∈(t,t + Δt)
动点：C1 ，C2
B
C2
ω
ve
动系：平动坐标系Ax’y’
x’
A
C1 vr
D
ω
va = ve + vr
y ':
v C1a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统动量
p
=
2m
⎛ ⎜⎝
u
−
L 2
ω
⎞ ⎟⎠
j
'
同理： v C 2a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统质心速度
vC
=
⎜⎛ u ⎝
−
L ω ⎟⎞
2⎠
j'
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理论力学
作业：6-4、6-5、6-6
三、变质量质点运动微分方程
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理论力学
§6-1 动量定理
主要研究：有质量连续并入或分出时，质点的动力学问题。
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理论力学
§6-1 动量定理
应用动量定理的积分形式
n
t2
∑ ∫ pt2 − pt1 =
I
(e) i
=
F
(e) R
13
理论力学
§6-1 动量定理
例：车身质量为m1 车轮总质量为m2 履带总质量为m3。（1）若车 身（平移）的速度为v, 求此时装甲车的动量p.（2）若履带与地面 的静滑动摩擦因数为f，求装甲车直线行驶的最大加速度a。
解：1、求系统的动量
n
∑ p = m i v Ci i =1
p = m1v + m2v + m3v = (m1 + m2 + m3)v m = m1 + m2 + m3
m0 = 10 mτ
mg
vr
O
x
dv
=
−
gdt
−
dm m
vr
ln10 ≈ 2.3
vτ
=
v0
−
gτ
+
vr
ln
m0 mτ
用一级火箭不可能达到第一宇宙速度
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理论力学
§6-1 动量定理
例：设长度密度为 ρ 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
一个力 F 使其以匀速 v 提升，求链条被提起的长度为y时力
=
FR(e)
∑ ⎧
⎪ ⎪
dpx dt
=
n
F ( e) ix
i=1
∑ 投影式
⎪ ⎨ ⎪
dp y dt
=
n
F ( e) iy
i=1
∑ ⎪
⎪
d
p
z
⎩ dt
=
n
F ( e) iz
i=1
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理论力学
§6-1 动量定理
动量定理的积分形式
t2
n
t2
∫ 其中：
I
(e) i
=
Fi(e)dt,(i = 1,2,L, n)
9
理论力学
§6-1 动量定理
引入质心的概念
∑ 质点系
总质量
n
m = mi
i =1
mi
z
vi
ri
rC m j
质心矢径 质心速度
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ mivi
vC
= r&C
=
i =1
m
o
x
y rj vj
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
如何确定：均质板、均质圆盘、均质杆的质心？
例题：质量为m的均质塔轮放在光滑的水平面上，其上绕有绳 索（相对塔轮无滑动），绳索上作用有力（如图所示）。试确 定哪个塔轮的质心加速度最大，哪个质心加速度最小。
F
2F
F
A
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F
B
C
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理论力学
§6-1 动量定理
例题：已知：m1 , m 2 , R , v r 为常量，求：板的速度、加速度、
=
p0x
i =1
问题：如何用简便方法计算质 点系或刚体或刚体系的动量？
n
∑ p = m iv i i=1
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理论力学
§6-1 动量定理
问题：如何用简便方法计算下列质点系的动量？
已知：车身、车轮、履带的 质量和车身行驶的速度，求 车整体的动量。
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n
∑ p = m iv i i=1
m2 )R
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理论力学