f nl d [r n−rl 2]
n=1 l=1
刚体上任意两点距离不变，故 d [ rn−rl2]=0⇒ W i=0
注： F nl∥ rn−rl，但是 F nl 可以∥ d rn−rl
由上述证明可见：质点系所有质点所受全部内力做功之和一般不为零 当两质点间距离不变或者相对速度与它们之间内力正交时做功和为零
F e
nn
证明： ∑ ∑ p= n pn ⇒ p˙ = n p˙ n
p˙
n=
F
ne
F
i n
∑ p˙ =Fe=
F e
nn
（证毕）
∑ F i = n F ni=0
[ 推论 ] 质点系动量守恒定律：若某一过程中质点系所受
合外力为零，则该过程质点系动量守恒；若合外力沿
某固定方向分量为零，则在该方向上动量守恒 .
n=1 l=1
r n−rl ∥F nl ⇒ r n−rl ×F nl=0
⇒ M i=0 （证毕）
[ 推论 ] 刚体内所有质点所受全部内力做功和为零 0.
N
NN
∑ ∑ ∑ 证明： W i=
W
i n
=
F nl⋅d rn
n=1
n=1 l =1
F nl
F ln
NN
∑ ∑ 交换哑标： W i=
F ln⋅d rl
例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2 上， 有一可沿斜面以相对尖劈的速度 v 滑动 的重物 1. 以重物和尖劈为质点系， 试分析两者间内力做功情况 .
F N1
F
f1
vF F
f2
N2
解：它们之间的内力可分解成图示成对的摩擦力和正压力 . 一对摩擦力做功为 : F f1⋅d r1F f2⋅d r2=F f1⋅d r1−r 2 =F f1⋅v dt 0 一对正压力做功为 : F N1⋅d r1F N2⋅d r 2=F N1⋅d r1−r2 =F N1⋅v dt =0
第五章
质点系动力学
§5.1 质点系动力学方程
设质点系包含 N 个质点，质量分别为 mn ,n=1,⋯N
质点 n 受力
F
n=
F
ne
F
i n
体系外的物 体系内其他的 体施加的力 质点施加的力
因此，质点系动力学方程为
mn
r¨
n=
F
e n
F
i n
,
n=1,⋯, N
注：这是一个含 3N 个标量的方程组 .
[ 推论 ] 一对作用力与反作用力做功和与参考系无关 .
证明：一对力与反作用力与坐标系无关，而相对速度
v
=
d
r1−r dt
2
=
d
'
r1−r dt
2
×
r
1−
r
2
r
1−r
2=
r1, −
r
, 2
⇒
d
'
r1− dt
r
2
=
d
'
r1, − dt
r
2,
=v
'
r1−r2∥F 12 ⇒ F 12= f 12 r1−r2⇒ F 12⋅[ × r1−r 2]=0
l =1 n=1
求和可交换顺序
NN
∑
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2 F i=
nl
ln
F nl F ln=0
n=1 l=1
⇒ Fi=0 （证毕）
[ 推论 ] 对任意参考点 , 质点系所有质点所受全部 内力矩的矢量和为零 0.
∑ ∑ ∑ 证明： M i= N
（请自证）
[ 定义 ] 质点系质量： ∑ mt= n mn
[ 定义
]
质点系质心：位于
r
C=
∑n mn
mt
r
n
处的几何点
.
注：质心只是几何点，质心处可能并无任何质点存在
[ 推论 ] 质心的定义不依赖于参考系 .
z'
证明：假定 S 为静止系， S' 为运动参考系，
在 S 系中质心位于
∑ r C =
n mn r n mt
N
M ni=
N
rn× F nl
n=1
n=1 l =1
NN
∑ ∑ 交换哑标： M i=
rl× F ln
l =1 n=1
F nl r n
F ln r l
NN
∑ ∑ 交换求和顺序： M i=
rl×F ln
n=1 l =1
NN
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2 M i=
nl
ln
rn−rl ×F nl
⇒ F12⋅v =F 12⋅v '
故这对力做功与参考系无关 . （证毕）
注：如果一对力始终做负功，通常把这对力称为耗散力 . 例如滑动摩擦力
§5.3 动力学基本定理和守恒定律
● 动量定理和动量守恒定律 注：本节只考虑惯性参考系
[ 定义 ] 质点系动量 ∑ p= n pn
∑ 质点系动量定理：
p˙ =Fe=
l =1 n=1
NN
∑ ∑ 交换求和顺序： W i=
F ln⋅d r l
n=1 l =1
r l
r n
NN
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2W i=
nl
ln
F nl⋅d r n−rl
n=1 l=1
r n−rl ∥F nl ⇒ F nl= f nl r n−rl
NN
∑ ∑ ⇒ 4 W i=
§5.2 质点系的内力
[ 推论 ] 质点系所有质点所受内力矢量和为 0.
证明：记质点 n 受到来自质点 l 的作用力为 F nl
并令 F =0 ，则 nn
N
NN
∑ ∑ ∑ Fi= F ni=
F nl
n=1
n=1 l=1
由于 nl 在求和式中是哑标，所以用什么字母都可以，于是
NN
∑ ∑ Fi=
F ln
z
r' C
O'
y'
r C
x'
xO y
在
S'
中，
r C
表示为
r
, C
=
rC
−OO
'
∑ ∑ ∑ =
n mn mt
r
n
−OO
'
n mn mt
=
n mn rn−OO ' mt
∑ =
n
mn
r
, n
mt
（证毕）
[ 定义 ] 质心速度和加速度：vC =r˙ C , aC =v˙ C =r¨ C
[ 引理 ] 质点系动量可表示为 : p=mt vC
证明： Fe=0 ⇒ aC=0 ⇒ vC =const.
如果对于固定方向 e , l
有
el⋅F e=0 ⇒ el⋅aC=0
即
el⋅v˙ C=0
⇒
d dt
e l⋅vC
=0
⇒
el⋅vC=const.
（证毕）
● 角动量定理和角动量守恒定律
[ 定义 ] 质点系对 O 点角动量
∑ ∑ LO= n LnO= n rn× pn
∑ ∑ 证明：由质心定义可知 n mn r n=mt rC ⇒ n mn r˙ n=mt r˙ C
∑ ⇒ p= n mn r˙ n=mt vC （证毕）
质心运动定理： mt aC =F e （请自证）
[ 推论 ] 若质点系所受合外力为零，则质心速度为常量；
若质点系所受合外力在某固定方向分量为零，则质 心速度在该方向上的分量不变 .
z
m
n
r n
O
y
x
[
定义
]
质点系对过
O
点固定轴
e 的角动量 l
Ll =el⋅LO
∑ 质点系对 O 点角动量定理：L˙ O= M Oe=