mn rn mn
)

(e)
F
令 m mi 表示质点系的总质量
i
并令： rc
mi ri
i
m
(3)
1、质心
则：
m
d2 dt
rc
2
(e)
F
我们把由（3）式定义的位置矢量 rc 的矢端处的几何点c，称
为质点系的质量中心 ，简称质心。
有关质心注意点见书P189
2、质心运动定理
y1= -2；m2=2, x2= -1, y2=1；m3=3, x3=1, y3=2，求质
心位置坐标 xC, yC.
解：据质心定义式
xC

mi xi mi

m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 m2 m3
1 (1) 2 (1) 3 1 0
1 2 3
例 1 设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和
一个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子
的运动方向互相垂直,且电子动量为1.210-22 kg·m·s-1,中
微子的动量为6.410-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量
的值和方向如何?


解 Fiex Fiin
yC

mi yi mi

m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 m3
1 (2) 2 1 3 2 1
1 2 3
y
2
m3
m2 1 C
-1 0 1 x
m1 -2
§6.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
一、 质点系对轴的角动量定理
由质点i 对轴的角动量定理：
m1v0 (m1 m2 )v
由此确定共同速度:
v

m1 m1 m2
v0
。
例 5、 置于冰面上长为 l 、质量为 M 的均匀分布的木板，板右端站质量也
为 M 的人（视为质点）。当人相对板以 u 向左运动，求板运动速度 v 与人运动
速度的关系。
解：该系统在水平方向所受合外力为零，则水平方向动量守恒。 取向右为正方向，
例 4 如图所示，子弹 m1 以初速 v0 水平入射到静止的木块m2 上
（地面与木块之间有摩擦），求入射后， m1, m2 的共同速度 v 。
解：以 m1, m2 为研究对象，在碰撞过程中，尽管系统受到地面 的摩擦力和弹簧弹性力的作用，但是，这些外力远小于内力，
而且作用时间很短，近似认为系统动量守恒，即，
动量。i
i
上式表明：质点系对于Z轴的角动量对时间的变化率等于
质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和，叫做质点系对Z轴的角 动量定理。
二、质点系对轴的角动量守恒定律
若 MiZ外 0，则： LZ 恒量 i
表明：若质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和始终为零，
则质点系对轴的角动量保持不变，叫做质点系对Z轴的角动量 守恒定律。
即：在质点动力学中，我们所研究的“质点”，其实就是物体的“质心”。 质心运动定理的局限性：仅给出质心加速度，未对质点系作全面描述。
几⑵rC 点记 说住m明关ir和系i / m注式:意：xmC：rC⑴质mi心mxiiC/rim,的m, 位yvCC置 由mm质iivy点ii ,/系mma,质CzC量分m布miai决izi /定m
三、质心运动定理
由质点系动量定理 ：


d
(e)
F

i
mivi
dt
d dt
(m1 v1

m2
v2

(e)
mn vn ) F
可写成：
d2 dt 2
(m1 r1 m2 r 2
(e)
mn rn ) F
(m1
m2

mn )
d2 dt 2
( m1r1 m2 r 2 m1 m2
动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
Fxex 0 , px mi vix Cx Fyex 0 , py miviy Cy Fzex 0 , pz miviz Cz
4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界最普 遍，最基本的定律之一 .
x

1 2
a2 (t )2

1 2
a2tt

1 2
v2t
0.5 1.5 0.0015 1.12103 m 1.12mm
例3 求大炮后坐速率：如图
所示，炮车质量m1，炮弹质量 m2，出膛时相对炮车速度v2 ， 方向与水平成θ角，求炮车后
y v1
m1
m2
θ v2
坐速率。
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pei1 pν pN 0

pν
pN
pe 1.2 1022 kg m s1
pe
p 6.4 1023 kg m s1
系统动p量e 守恒pν,
即
pN

0

pν
pN
又因为
但对每个质点动量的增减是有影响的。
( p pi )
i

i
Fi ( e )

dp dt
(1)
即：质点系动量的变化是由外力引起的 ，质点系动量对时 间的变化率等于外力的矢量和——质点系动量定理
在直角坐标系中的投影式为：
i
Fix(e) d
pix
i
,
dt
i
Fiy
解：在Δt时间内，火药的爆发力使子弹 v2 a2
和枪身做匀加速直线运动，设加速度 F
a1
m1
v1
分别为a1,a2，枪身末速度为v2
m2 x
忽略手或肩的抵抗力F，枪、弹系统动
量守恒，有 m1v1 m2v2 0
v2

m1v1 m2

7.9 103 735 3.87
1.5m /
s
由匀加速直线运动位移公式，枪身后坐距离：
⑶只有外力才能改变质心运动状态，内力只能改变质点系
内各质点的运动状态
（4）质心运动守恒
由 而
(e)
F

m
dvc
dt
vc

drc dt
，若
，若
vc (t
F0)(e) 00，，即可d得rc dt
vc 恒矢量c 0，则 rc 恒矢量c
质心位置守恒
例 已知三个质点的质量和位置坐标：m1=1, x1= -1,
令：
ac

d vc dt

d2rc dt 2
则得：
mac m dv c dt
m d2rc dt 2
(e)
F
表明：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所
受一切外力的矢量和，叫做质点系的质心运动定理。
上式和牛顿第二定律的形式一样，可知：把实际物体抽象为质点并运 用牛顿第二定律，是只考虑物体质心的运动而忽略各质点围绕质心的运动 和各质点间的相对运动。——质点模型方法的实质。
§6.1 质点系动力学的研究方法
一、质点系
由多个彼此间有相互作用的质点构成力学体系称为质 点系。
对于有若干质点组成的质点系来说，质点系以外的物体称作外界。
二、内力和外力
外力：外界对质点系内质点的作用力。 内力：质点系内诸质点间的相互作用力。
内力的特点：1）因内力成对出现，由牛顿第三定律知：
(i)
Fij F ji
pe pν
pN ( pe2 pν2 )1 2
代入数据计算得 pN 1.36 10 22 kg m s1
arctan pe 61.9
pν
例2 枪身后坐距离：如图所示，子弹在枪膛内做匀
加速运动的时间Δt = 0.0015s，子弹的质量 m1=7.9×10 –3 kg，枪的质量m2=3.87kg，子弹出膛相对地的速度 v1=735m/s，求子弹出膛时，枪身后坐距离。
一、质点系的动量定理 设质点系有n个质点组成。由质点的动量定理
对于第i 个质点： d pi F i
F (e)
i

(i)
Fi

dpi dt
,
i
dt

F (e)
i

(i)
Fi


d
i
pi dp
dt dt
因为内力成对出现
(i)
Fi 0
i
这说明内力对系统的总动量无贡献，
p＝i 恒矢量。
i
i
即：在一定的时间间隔内，若质点系所受外力矢量和为零， 则在该段时间内动量守恒。
注：动量守恒定律成立的近似条件：一定过程中，内力远 大于外力，可近似认为动量守恒。
2. 若质点系所受外力的矢量和并不为零，但外力在某个
方向上的分力之和为零，如： Fix(e) 0，则：质点系动量相应
仅取决于两质点间相对位置的改变。
注：内力功的推论：
①若二质点间的距离不变( dr =0 )，则它们之间的
内力功为零。 ②刚体的内力功为零。
例 1、 如图所示，火车以速度 v 相对
地面行驶，车上一物块相对火车以速度
u 向前滑行 x 后停止，此时，火车运行 了距离 x 。计算物块与火车底部之间一
对摩擦力所做的功之和。
(e)

d
piy
i
dt
,
i
Fiz
(e)

d
piz
i