作 用：“左乘变行，右乘变列．” 行列式： | E(i, j) | 1 ， | E[i(k)]| k ， | E[i, j(k)]| 1 .
逆矩阵： E(i, j) 1 E(i, j) , E[i(k)]1 E[i(1 k)] , E[i, j(k)]1 E[i, j(k)] .
（三）矩阵的秩 1．定义 设矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D ，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为 0 ,则称 D 为 A 的最高 阶非零子式．数 r 称为矩阵 A 的秩，记为 R(A) . 规定：零矩阵的秩为 0 ．
若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B ，则称
c
矩阵 A 与 B 列等价；记作 A ~ B ；
若矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 B ，则称矩
阵 A 与 B 等价；记作 A ~ B ；
（二）初等矩阵 1．定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵． 2．三种初等矩阵 E(i, j) ， E[i(k)] ，E[i, j(k)] .
4
2
3 4 0
2 1 . 3
1 2 6 (D) 0 1 8 【
2 3 0 .
】
分析 本题是考查初等方阵的性质．由于 E3(2)F 为用 2 乘
矩阵 F 的第三行，故应选 (A). 解 选(A). 【例3】设线性方程组 A x 55 51 b 有唯一解，则必有
分析 本题是考查初等方阵的定义及性质．
解 E ； E[i, j(2k)] ； E[i(k 2 )] ．
3 0 0
1 0 0
【例3】设矩阵
A
1
4
0
，E
0
1
0 ,则逆矩阵 ( A 2E) 1
.
0 0 3
0 0 1
分析 本题可利用初等行变换法求逆矩阵．
解
1 1 2
0 12
0 0
．
0 0 1
2．性质 （1） 0 R( Amn ) min{m, n}. （2） R( AT ) R( A) . （3）若 A ~ B ，则 R(A) R(B) . （4）若 P ,Q 可逆，则 R(PAQ) R(A) .
3．求法 （1）定义法； （2）利用初等行变换化 A为与之等价的行阶梯形 矩阵 B ． B 非零行的行数就是A 的秩．
的秩为
.
分析 本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质．因 R(A) 1，
R(Q) 1，故 A与 Q 均至少有一个非零元，所以 AQ 也至少有
一个非零元，从而R(AQ) 1 ；又 AQ 的各行元素对应成比例， 所以 AQ 的任何阶 2子式均为 0 ，故 R(AQ) 1.可见 R(AQ) 1. 解 1． 注 一般结论：设 ， 均为非零列矩阵，则 A T R(A) 1 .
（四）线性方程组的解
1． Amn x 0 有非零解 R(A) n ；
2． Amn x b有解 R(A) R(B) ，B ( A, b) ；即
（1）当 R( A) R(B) n 时，Amn x b 有唯一解；
（2）当 R(A) R(B) r n 时， Amn x b有无穷多解；
0, R(A) n 1
【例5】设 A是 43 矩阵， A的秩
R(A) 2
，而
1 B 0
0 2
2 0
，
R( AB)
.
1 0 3
分析 本题是考查矩阵秩的性质．因 | B | 10 0 ，所以 B可逆， 从而 R(AB) R(A) 2
解 2．
【例6】已知 m 1 矩阵 A 的秩为1 ，1 m 矩阵 Q 的秩为 1，则 AQ
（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 ri krj ）.
注 （1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变
换；
（“记”号：）“r ”换为c
（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
定义2 若矩阵 A经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则称
r
矩阵 A与 B 行等价；记作 A ~ B；
互为逆矩阵，所以 E(1, 2(6))E(1, 2(6))A EA A， 故应选 (B) .
解 选 (B) .
【例2】设
F
1 0
2 1
3 4
，E3(2)
是3
阶初等方阵，则
E3(2)F等于
2 3 0
(A)
1 0
4
2 1 6
3 4 0
.
(B)
1 2 0
2 3 1
3 0
.
(C)
1 0
（3）当 R(A) R(B) 时， Amn x b无解．
3．通解的求法:
初等行变换法．
（五）一些重要结论
1． A 可逆 A P1P2 Pl （ Pi 为初等矩阵，i 1, 2, , l ） ．
Amn ~ Bmn 存在可逆阵 P 、Q ，使 PAQ B． 2．逆矩阵的求法 (A, E) 初 等 行变换 (E, A1) ．
二、典型例题举例
（一）填空题
【例1】 给mn 矩阵 A 左乘一个初等方阵，相当于对 A 施行
一次相应的 ；给 m n 矩阵A 右乘一个初等方阵，相当于
对 A 施行一次相应的
.
分析 本题是考查初等方阵的性质． 解 初等行变换；初等列变换．
【例2】 E(i, j)2 ，E(i, j(k))2 ， E(i(k))2 .
（二）选择题【例1】Fra bibliotekA是n 阶方阵，则下列各式中正确的是
(A) AE(1, 2(8))2 A .
(B) E(1, 2(6))E(1, 2(6))A A .
(C) AE(i(3))E(i(3)) A . (D) E(i(3))2 A A . 【 】
分析 本题是考查初等方阵的性质及逆．由于 E(1, 2(6)) 与 E(1, 2(6))
【例4】设 4 阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵 A*的秩为 .
分析 本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系．由 R(A) 2
可知，A 的任何 3 阶子式均为 0 ，故此时 A* 0 ，所以 R(A* ) 0
解 0．
n, R(A) n
注 A 与 A* 的秩的一般关系是 R(A* ) 1, R(A) n 1 .
线性代数习题课
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
一、内容提要
（一）初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: （i）对调两行（对调两行 i, j，记作 ri rj ）； （ii）以数 k 0乘某一行中的所有元素（第i 行乘 k ，记作ri k ) （iii）把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去；