1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5
1 0.5 0 0 -0.5 0.5 1 -1
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 极值 • 例 2 对一元可导函数而言，如果有有限个驻点， 则在两个极大值之间必存在极小值点；但一般说来 这个结论对于二元连续函数不成立。考虑可导函数
2 2 2 2 f ( x , y ) ( x 1 ) ( x y x 1 )
1 3 ln x 3 ln x 3
1 3
1 3
Plot3D Sign x y
Abs x y
^ 1 3 ,
x, 1, 1 , y, 1, 1 , PlotPoints
30
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 运行后即得图13，从 图上看到了除x轴和y 轴着两个方向以外， 其它方向的铅直平面 与曲面的交线在原点 处均形成一个尖点， 故方向导数不存在。
• 运行后即得驻点为，而在这两点上函数值为f（-1， 0）=f（1，2）=0 • 显然这两点是最大值点，从而这两点必是极大值 点。由于函数已没有其他的驻点，因而它也不可 能有极小值点。 • 下面，我们作出函数的图形，即键入：
Plot3D f x, y , x, 2, 2 , y, 1, 4 , PlotRange 4, 0 , PlotPoints 30
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 解 首先我们定义函数，即键入： • 运行，然后我们求出该函数的驻点，因此我们键入：
g x_, y_ : 3 x E^ y x ^3 E^ 3 y
• 运行后即得到唯一的驻点（1，0）（注意，由于 该函数不是多项式函数，故在解方程组时有报错信 息，一般此时应该用命令“FindRoot”。
-2 -1
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
0 -1 -2 -3 -4 -2
3 2 -1 1 0 1 2 0 -1
4
-1
0
1
2
3
2 0 -1 -2 -3 -4 4
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 通过这两个最高点作垂直于xoy面的截面，截立 体所截的截线上存在最低点，但这最低点却不是 整个图形的（局部）最低点。 • 3 极值与最大（小）值 • 例 3 对一元连续函数而言，如果有唯一驻点，且 该点是极大（小）值点，则此极大小值点必是函 数的最大（小）值点；但一般而言，这个结论二 元连续函数不成立。现对函数证明它有唯一驻点； 且此驻点为极大值点，但此函数无最大值。然后 用计算机画出这个函数的图形，并从图上观察为 什么会出现这个情况。
xx yy 2 xy xx yy 2 xy
x , x
xx
xx
D g x, y , x, 2 x 1, y 0
D g x, y , y, 2 D g x, y , x, 2 . x
D g x, y , x, y 1, y 0
^2 .
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 运行可得 “/.”表示代入，上述程序即表示把x=1.y=0，代 入计算相应的值。 • 接下来，我们再来观察它的图形，即键入：
实验11 多元函数极值与一元函数极值的比较
• 内容提要 • 本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极 值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并 通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们 的理解。 • 实验步骤 • 1. 方向导数 • 我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则 它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏 导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导 数就可能不存在，请看下面的例子。
32 3 3
0 时的极限不存在时，即 函数在其它方向 {cos ， sin } 上的方向导
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 下面我们作出函数的图形，由于 Mathematica中 x 定义为函数 ，而 • 在x<0时无定义，故我们首先把函数变形 为 x (sgn x )| x| 在作图，即键入：
Solve D g x, y , x 0, D g x, y , y 0 , x, y
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 请读者做一下，作时请先分别定义两个偏导函数， 例如定义: ,y • 关于x的偏导函数可用“gy x_, y_ : Evaluate D g x, y ”）， 根据极值的充分条件，我们在驻点（1，0）处计 gg g和个，只要 gg g 0 , 算 则该驻点为极值点，而此时 g的符号确定了该驻点为 极小值点（ g 0 时）或极大 g 0 时 • 即键入：
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且 在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x 轴和y轴方向导数都存在），但原点处其他 方向的方向导数都不存在；（2）利用计算 机作出该函数在原点附近的图形，并从图 上验证（1）的结论。
多元函数极值与一元函数极值的比较
y) • 解：由于 f (x,是初等函数，其定义域为 R2， 故函数在原点处连续， x , 0 ) 0 ,f ( 0 , y ) 0 , 故在原点处 f 0 ， x y • 而由于 f( 而 f cos sin 0 cos sin f ( cos , sin ) f ( 0 , 0 ) 3 ( 0 ,, , ) 22
• 证明它仅有两个极大值点。然后用计算机画出这个 函数的图形，并从图上观察为什么会出现这个情况。 • 解： 首先我们定义函数，即键入：
f x_, y_ : x ^2 1 ^2 x ^2 y x 1 ^2
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 并运行，再求出驻点，即键入：
Solve D f x, y , x 0, D f x, y , y 0 , x, y
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 运行后即得图14（a）。为了使输出的图形更直 观，我们改变观察点，即键入：
Plot3D f x, y , x, 2, 2 , y, 1, 4 , PlotRange 4, 0 ,
• 运行后得图14（b）
PlotPoints
30, ViewPoint
2.504, 2.105, 0.867