习 题[8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。

已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：yz yyz zW l F W lF lF W M W M 211max 2++⋅=+=σ式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。

故MPa Pa mm N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。

试校核檩条的强度和刚度。

图习题⋅-28解：（1）受力分析)/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α(2)内力分析)(432.14716.0818122max ,m kN l q M z y ⋅=⨯⨯===)(864.24432.1818122max ,m kN l q M y z ⋅=⨯⨯===（3）应力分析最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。

zz yy W M W M max ,max ,max +=+σ式中，32232266*********mm hb W y ≈⨯== 32246933361601106mm bh W z ≈⨯== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13636max=⋅⨯+⋅⨯=+σ（4）强度分析因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。

（5）变形分析最大挠度出现在跨中，查表得：z y cy EI l q w 38454=，yz cz EI l q w 38454=式中，)(177466671211016012433mm hb I y ≈⨯== 433375466671216011012mm bh I z ≈⨯== mm mm mm N mm mm N EI l q w z y cy 12.1437546667/1093844000/431.153845423444≈⨯⨯⨯⨯⨯==mm mm mm N mm mm N EI l q w y z cz .94.1417746667/1093844000/716.053845423444≈⨯⨯⨯⨯⨯==)(56.2094.1412.142222mm w w w cz cy c ≈+=+=（6）刚度分析因为)(56.20max mm w w c ==，)(202004000200][mm l w ===，即][max w w >，所以，从理论上讲，变形过大，不符合刚度要求。

但是，因为%5%8.2202056.20][][max <=-=-w w w ，所以从工程的角度来说，误差在允许的范围，所以可以认为刚度符合要求，不需重新设计杉木的截面尺寸。

[8-5] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。

试求：（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

解：烟囱底截面上的最大压应力：==土壤上的最大压应力 ：即即解得：m[8-6] 一弓形夹紧器如图所示。

弓形架的长度mm l 1501=，偏心距mm e 60=，截面为矩形mm mm h b 2010⨯=⨯，弹性模量GPa E 2001=。

螺杆的长度mm l 1002=，直径mm d 82=，弹性模量GPa E 2202=。

工件的长度mm l 403=，直径mm d 103=，弹性模量GPa E 1803=。

当螺杆与工件接触后，再将螺杆旋进mm 0.1以村紧工件。

试求弓形架内的最大正应力，以及弓形架两端A 、B 间的相对位移AB δ。

图习题⋅-68AB弓形架F螺杆工件受力分析图解：（1）求弓形架内的最大正应力这是一次超静定问题。

变形协调方程为： δδδδ=++32AB ...... (a) 物理方程为2222A E l F l ⋅=∆3333A E l F l ⋅=∆； e I E l Fe A E Fl I E Fe yy AB⋅++⨯=1111113)(23δ。

......(b) 其中AB δ可用叠加法求解。

其求解过程如图所示。

A B弓形架BAB3yI E Fe 133++=e I E l Fe y⋅11)(在弯矩作用下A 、B 两点的相对位移，可由简支梁CD （支座反力为0）查表求得：y y y D C MAB I E Fel e I E l Fe e I E l Fe e e C1311111,263=⋅⋅+⋅=⋅+⋅=θθδ （↓↑） y y y D D MAB I E Fel e I E l Fe e I E l Fe e e D1311111,263=⋅⋅+⋅=⋅+⋅=θθδ （↓↑） e EI Fle EI Fl e EI Fl y y y M AB M AB M AB DC⋅=⋅+⋅=∆+∆=111,,,22δ（↓↑） (b)代入(a)得：δ=++⋅++⨯3332221111113)(23A E Fl A E Fl e I E l Fe A E Fl I E Fe y yδ=++++F A E l A E l I E l e A E l I E e y y )32(33322211211113δ13331222112113)32(E F A E l E A E l E I l e A l I e y y =++++ δ13331222112113)3332(E F A E l E A E l E I l e A l I e y y =++++ δ13331222112311)332(E F A E l E A E l E I l e e A l y =++++ δ1333122211211]3)32([E F A l E E A l E E I l e e A l y =⋅+⋅+++33312221121113)32(A l E E A l E E I l e e A l E F y ⋅+⋅+++=δ式中，)(103220101211214433mm bh I y ⨯=⨯⨯==22224422223514.340180200414.310022020010323)1503602(602001501/10200mm mmmm mm mm mm mm mm mm mmmm N F ⨯⋅+⨯⋅+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=N 1894=弓形架内的最大正应力是拉应力，出现在横截面的左边缘。

yyt W M A F +=max ,σ )61(62max ,h e bh F bh Fe bh F t +=+=σ )206061(201018942mm mmmm N ⨯+⨯=MPa 93.179= MPa 180≈e I E l Fe A E Fl I E Fe y y AB ⋅++⨯=1111113)(23δ y y ABI E l Fe A E Fl I E Fe 112111133332++=δ 1111123332A E Fl I E l Fe Fe y AB ++=δ1111123)32(A E Fl I E l e Fe y AB++=δ 223442322200/1020015018941032/102003)1503602(601894mm mm N mm N mmmm N mm mm N AB⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=δmm 9787.0≈ mm 98.0≈DA CBF AyF AzF ByF BzF P P15.0F5.0zxyP15.0DAC B图⋅T P15.0P12.0P06.0C BA DyM zM O[8-14] 一手摇绞车如图所示。

已知轴的直径mm d 25=，材料为Q235钢，其许用应力MPa 80][=σ。

试用第四强度理论求绞车的最大起吊重量P 。

解：轴是弯扭组合变形构件。

把外力向轴平移后得如图所示的受力图。

支座反力P F F Bz Az 5.0==P F 15.05.0=P F 3.0=在xoy 平面内，0=∑B M 06.01=⨯-⨯Ay F F 06.03.0=⨯-Ay F P P F Ay 5.0= 0=∑y F 0=-+Ay By F F FP F P F F F Ay By 2.03.05.0=-=-=轴的扭矩图与弯矩图如图所示。

从内力图可知，C 截面是危险截面。

由第四强度理论可得：][32/75.0)(75.03322222224σπτσσ≤++=+=+=d T M M W T M z y r 63222108032/025.014.3)15.0(75.0)06.0()15.0(⨯≤⨯⨯++P P P63222108032/025.014.3)15.0(75.0)06.0()15.0(⨯≤⨯⨯++P P P661080105332.12073.0⨯=⨯-P )(59.0)(684.591kN N P ≈=⊗•F FmmD 60=mma 5=55BC D αRzTz y55[8-17] 边长mm a 5=的正方形截面的弹簧垫圈，外圈的直径mm D 60=。

在开口处承受一对铅垂力F 作用，如图所示。

垫圈材料的许用应力MPa 300][=σ，试按第三强度理论，计算垫圈的许可荷载。

解：垫圈任一横截面上的内力有：αsin PR M = (下侧受力) )cos 1(α--=PR T)(5.27)5060(41)(41)22(212mm d D d D d R =+=+=-+=当0180=α时，0=M ，PR T 2-=0=σ，2max hbTατ=。

由15/5/==b h 查表得：208.0=α。

于是1953max105208.0105.272P --⨯⨯⨯⨯=τ (下边缘中点处的切应力) ][)105208.055(4042631223στσσ≤⨯⨯⨯+=+=P r6611030010125208.0552⨯≤⨯⨯⨯P30025104.0111≤⨯P)(91.701125104.03001N P =⨯⨯≤当090=α时，PR M =，PR T -=26292321032.11055105.2766P P bh M W M z ⨯=⨯⨯⨯⨯===--σ (下边缘的正应力) 262953max10058.1105208.0105.27P P ⨯≈⨯⨯⨯=--τ (下边缘中点处的切应力) ][)10058.1(4)1032.1(4226226223στσσ≤⨯⨯+⨯=+=P P r622622610300)10058.1(4)1032.1(⨯≤⨯⨯+⨯P P6261030010692.1⨯≤⨯P 6261030010692.1⨯≤⨯P)(3.1772N P ≤从上以计算可知，垫圈的许可荷载由0180=α截面的内力条件决定，)(91.70][N P =[8-18] 直径mm d 20=的折杆，A 、D 两端固定支承，并使折杆ABCD 保持水平（B 、C 为直角），在BC 中点E 处承受铅垂荷载F ，如图所示。