幂函数、二次函数考纲解读 1.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象解决简单的幂函数问题；2.用待定系数法求二次函数解析式，结合图象解决二次函数问题；3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题．[基础梳理]1．幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫作幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较：2．二次函数 (1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图象与性质：(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[三基自测]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案：C2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3 答案：D3．幂函数f (x )＝xa 2－10a ＋23(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：C4．(必修1·第一章复习参考题改编)若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与12[g (1)＋g (3)]的大小关系为________．答案：g (2)<12[g (1)＋g (3)]5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1x的增区间为__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫132，＋∞[考点例题]考点一 幂函数的图象和性质|易错突破[例1] (1)已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，∴3<a <5.故a 的取值范围是(3,5)． (2)令y 1＝，y 2＝，f (x )＜0，即为y 1＜y 2，函数y 1＝，y 2＝的图象如图所示，观察图象，当0＜x ＜1时，y 1＜y 2，所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(0,1)．[答案] (1)(3,5) (2)(0,1) [易错提醒]1．分不清指数函数与幂函数，比较幂值大小时，若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．2．幂函数的单调性只与指数的正、负有关，要注意幂函数定义域．[纠错训练]1．设12＜⎝⎛⎭⎫12b ＜⎝⎛⎭⎫12a＜1，那么( )A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，12＜⎝⎛⎭⎫12b ＜⎝⎛⎭⎫12a＜1，所以0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A ，B ；因为y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a .故选C.答案：C2．若(a ＋1)－2>(3－2a )－2，则a 的取值范围是__________． 解析：由y ＝x －2的图象关于x 轴对称知，函数y ＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．因为(a ＋1)－2>(3－2a )－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1>0，3－2a >a ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a <0，a ＋1<0，3－2a <a ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，3－2a >－(a ＋1)，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a <0，a ＋1>0，－(3－2a )>a ＋1，解得－1<a <23或a ∈∅或a <－1或a >4，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，23∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，23∪(4，＋∞)考点二 二次函数的解析式|方法突破[例2] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解析] 法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法提升][母题变式]将本例改为已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (0)＝f (4)＝3，f (1)＝1，则f (x )＝________. 解析：因为f (0)＝f (4)＞f (1)，所以函数图象应开口向上，即a ＞0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a＝2，所以4a ＋b ＝0.f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2－4ax ＋3， ∴f (1)＝a －4a ＋3＝1， ∴a ＝23，∴f (x )＝23x 2－83x ＋3.答案：23x 2－83x ＋3考点三 二次函数的图象与性质|模型突破角度1 二次函数的单调性[例3] 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0][解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． [答案] D [模型解法]角度2 二次函数最值[例4] 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.[模型解法]主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数在闭区间[m ，n ]上的最大、最小值有如下的分布情况：f (x )＝max{f (n )， a <0 (1)若－b2a∈[m ，n ]，则f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (m )，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，f (n )， f (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (m )，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，f (n )； (2)若－b2a ∉[m ，n ]，则f (x )max ＝max{f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}．角度3 二次函数中恒成立问题[例5] (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是__________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为__________．[解析] (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立； 当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. [答案] (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 [模型解法][高考类题]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：由f (x )＝f (2－x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又函数y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两个函数的图象的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，……，又∑i ＝1mx i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以2∑i ＝1mx i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑i ＝1mx i＝m .答案：B2．(2015·高考四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D.812解析：由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12≤0f ′(2)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤18.2m ＋n ≤12画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn.由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn 相切时，t 取得最大值．由⎩⎨⎧－t n 2＝－126－12n ＝tn，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.答案：B[真题感悟]1.[考点三](2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.答案：D2.[考点二](2013·高考安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝__________.解析：当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.答案：－x (x ＋1)23.[考点三](2014·高考浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是__________．解析：结合图象(图略)，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2. 答案：(－∞，2]4.[考点三](2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a(x ＋1)＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <11≤3a <2－4a －32≥0，解得13≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫13，235.[考点三](2015·高考湖北卷)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝__________时，g (a )的值最小．解析：f (x )＝|⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24|，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a2处产生，即g (a )＝max{f (0)，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫a 2}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，|1－a |，a 24＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|1－a |，a 24，在同一坐标系中分别画出y ＝|1－a |，y ＝a 24的图象(图略)可知，在两图象的交点处，g (a )取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)．答案：22－2。