有关
B
h2
U
dP dx
图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B
＞0，即压力沿流动方向下降，称为顺压力梯度，在整个
槽道内速度为正值。当B＜0，压力沿流动方向增加，称 为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁
面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆 流的条件是
du 0 dy yh
第三章 纳维-斯托克斯方程组 的精确解
在第二章里建立了粘性流体动力学的基本方程组，从 本章开始将讨论由此方程组描写的粘性流体运动的物 理属性和特征以及方程组的解法。一般情况下寻求纳 维-斯托克斯方程组精确解的问题在数学上遇到了巨大 的困难，这主要是由方程组的非线性引起的。由于这 些困难，迄今只在一些特定的条件下求得了方程组的 精确解。这些精确解从不同方面反映了粘性流体运动 的性质。由于对大多数实际关心的问题不能求得精确 解，因而不得不引入不同程度的物理的或数学的近似 以示得其近似解，其中边界层近似则是很好的例子。 随着高速计算机的发展，数值求解起着越来越大的作 用。这些将在以后各章中讨论。
由于P只是x的函数, 而u只是y的函数, 若要方程(3.1.3)
成立, 必须
dP dx
d2u dy 2
常数
将此式对y积分, 考虑到边界条件(3.1.4),则
u
h2
2
dP dx
1
y h
2
可见速度剖面为抛物型.等式右端的负号表示速度指向压力
降低的方向.若用umax
h2
2
dPபைடு நூலகம்dx
表示中线上的最大速度, 则
方程(3.1.3)满足此边界条件的解为
u
U 2
1
y h
h2
2
dP dx
1
y h
2
当压力梯度为零时
u
U 2
1
y h
这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运 动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这
简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度
的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B
速度剖面可表示为
u
umax
1
y h
2
2.库埃特流动
这是另一种平行直壁之间
的流动，其中一个直壁静
止不动，另一直壁在自身
所在平面内沿流向移动 （图3.1.2）。这时方程 (3.1.3)仍然成立，因而式 （3.1.5）也成立，但边 界条件应改为
y h : u 0
y h:u U
其中U为上壁面平移速度.
u t
dP dx
2u y 2
2u z 2
此即关于u( y, z,t)的线性微分方程.以下分几种
情况分别求解.
1.二维泊肃叶流动
对于两个平行直壁之间的定常二维流动, 方程(3.1.2)成为
dP dx
d2u dy 2
若两平行壁面都是静止的,
如图3.1.1所示, 则边界条件
为
y h :u 0 其中2h为壁间距离.
§3-1 平行定常流动中的 速度分布
平行流动是特别简单的一类流动, 其定义是只有一个速度分量 不为零, 所有流体微团沿同一方向运动.不失一般性, 可设全流场 v和w都为零,则由不可压流量连续方程式(2.1.3)可知, u 0,即
x 分量u不随x变化, 所以对于平行流可得
u u( y, z,t), v 0, w 0 设彻体力Fv有势,即存在势函数H 使
本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以 化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解 表示。在所得出的这些常微分方程（组）中， 有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于 这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解 也有通用性，故常列表给出。
guv 0
uv (uvg)uv 1 p
t
则它也满足对应的粘性方程组
guv 0
uv (uvg)uv 1 p 2uv
t
因它使2uv 0.
但是位势解一般不能满足无滑移边界条件，因为， 若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数 可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零。 所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有 物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运动 时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际 意义的解（见§3-3）。
v F H 则可引入压力函数P, 使
P p H
于是由不可压纳维 斯托克斯方程(2.2.8)关于y
和z向的分量可得P / y 0和P / z 0,即压力
函数P只是坐标x和时间t的函数, P P(t, x).由平
行流定义式(3.1.1)可得, 动量方程(2.2.8)关于x向
的分量方程中平流项为零,于是
在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出， 不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方 程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项 变为零。
若存在位函数 , 使 uv grad
则由连续方程可得
guv g(grad) 2 0
于是得
2uv 2 (grad) grad(2) 0
可见, 若此位函数满足不可压无粘运动方程组
由式(3.1.8)可知此条件对应于
dP U
dx 2h2 B 1/ 2
当B p 1 时, 速度大的流层对静止壁面附近流体微团的 2
拖动力不足以克服逆压力梯度,因而出现逆流.
3.哈根-泊肃叶流动
这是直圆管中的平行 流动。为保证是真正 的平行流动，需要满 足两个条件：第一， 以管道直径为特征长 度的雷诺数应低于某 临界值以保证流动为 层流（第七章）；第 二，管道足够长，以 形成充分发展了的管 道流(§10-6)。
迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性 的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和 热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质 量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单 独求解温度（§2-4）
在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变 得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨 论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析 关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而 物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷 诺数有效，即本质上是层流解。
现以管道中心线为圆柱坐标系轴线,并用x表示 (图3.1.3), 该方向速度为u.对于平行流动, 径向 和周向分速度为零, 故可按照与前面类似的讨论 得知 : u不随x变化,只随径向位置r变化;压力P不