题型专项(八)与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝ 3.∴AP＝AQ＝.∴BP＝AB－AP＝.∴PO＝AP－AO＝3－1(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.∴＝.∵∠PCE＝∠AOE，∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE，∴OF＝3r.∵AP＝AC，∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r.∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3.11＋3223－322.∴BP∶PO＝ 3.3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.(1)求证：△PAE∽△PEC；(2)求证：PE为⊙O的切线；12证明：(1)∵PE2＝PA·PC，PE PAPC PE又∵∠APE＝∠EPC，∴△PAE∽△PEC.(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.1212∴∠OAE＝∠OEA.∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.∴∠PEA＋∠OEA＝90°.∴PE为⊙O的切线．(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r.过点O作OF⊥AC于点F，122r322在△ODF与△PDE中，∴△PCF ∽△PAC.∴ ＝ . ∴a ＝ .∴PC ＝2a ＝ .⎧∠ODF ＝∠PDE ，⎨∠OFD ＝∠PED ， ⎩OF ＝PE ，∴△ODF ≌△PDE.∴DO ＝DP . 类型 2 与相似三角形有关4．(2016· 泰州)如图△，在 ABC 中，∠ACB ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E ，连接 AE 交 CD 于点 P ，交⊙O 于点 F ，连接 DF ，∠CAE ＝∠ADF.(1)判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若 PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求 CP 的长．解：(1)AB 是⊙O 切线．理由：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠CEA ＝90°.∵∠CAE ＝∠ADF ，∠CDF ＝∠CEA ，∴∠ADF ＋∠CDF ＝90°.∴AB 是⊙O 切线．(2)连接 CF.∵∠ADF ＋∠CDF ＝90°，∠PCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠ADF ＝∠PCF.∴∠PCF ＝∠PAC.又∵∠CPF ＝∠APC ，PC PFPA PC ∴PC 2＝PF·PA.设 PF ＝a ，则 PC ＝2a.∴4a 2＝a(a ＋5)．531035．(2015· 北海)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，弦 AE ∥CD ，连接 BE 交 CD 于点 F ，过点 E作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P ，使∠PED ＝∠C.(1)求证：PE 是⊙O 的切线；(2)求证：ED 平分∠BEP ；(3)若⊙O 的半径为 5，CF ＝2EF ，求 PD 的长．∴PF ＝ 16 ∴PD ＝PF －DF ＝ －2＝ .解：(1)证明：连接 OE.∵CD 是圆 O 的直径，∴∠CED ＝90°.∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠OEC.又∵∠PED ＝∠C ，∴∠PED ＝∠OEC.∴∠PED ＋∠OED ＝∠OEC ＋∠OED ＝90°，即∠OEP ＝90°.∴OE ⊥EP .又∵点 E 在圆上，∴PE 是⊙O 的切线．(2)证明：∵AB ，CD 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝∠CED ＝90°.∴∠AEC ＝∠DEB(同角的余角相等)．又∵∠PED ＝∠C ，AE ∥CD ，∴∠PED ＝∠DEB ，即 ED 平分∠BEP .(3)设 EF ＝x ，则 CF ＝2x.∵⊙O 的半径为 5，∴OF ＝2x －5.在 △R t OEF 中，OE 2＝EF 2＋OF 2，即 52＝x 2＋(2x －5)2，解得 x ＝4，∴EF ＝4.∴BE ＝2EF ＝8，CF ＝2EF ＝8.∴DF ＝CD －CF ＝10－8＝2.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∵AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝6.∵∠BEP ＝∠A ，∠EFP ＝∠AEB ＝90°，∴△EFP ∽△AEB.PF EF PF 4 ∴BE ＝AE ，即 8 ＝6.3 . 16 10 3 36．(2014· 桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ， AD 为⊙O 的直径，过点 C 作 CG ⊥AD 于点 E ，交 AB 于点 F ，交⊙O 于点 G.(1)判断直线 PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；∴AF＝＝ 5.∴AEAB AD4510，解得AE＝2.(2)若sin∠E＝，PA＝6，求AC的长．(2)求证：AG2＝AF·AB；(3)若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45△，求AFG的面积．解：(1)PA与⊙O相切．理由：连接CD.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠D.∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．(2)证明：连接BG.∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，︵︵∴AC＝AG.∴∠AGF＝∠ABG.∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.(3)连接BD.∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝25，AB＝45，AG2AB∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∵∠EAF＝∠BAD△，∴AEF∽△ABD.AF AE5＝，即＝∴EF＝AF2－AE2＝1.∵EG＝AG2－AE2＝4，∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.11∴S△AFG＝2FG·AE＝2×3×2＝3.类型3与锐角三角函数有关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC，PA的延长线交于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线；35又∵sinE＝＝＝，∴AO＝3.∴△ACB∽△BOP.∴＝.∴AC＝＝＝.(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD.解：(1)证明：连接OA.∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.∴PA是⊙O的切线．(2)∵PB⊥CB，∴PB是⊙O的切线．又∵PA是⊙O的切线，∴PA＝PB＝6.PB AO3EP EO5在△Rt OPB中，OP＝62＋32＝3 5.∵BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°.∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.AC CBBO OPCB·BO1865OP3558．(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，BD交AC于点F.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；35解：(1)证明：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠CBD＝∠OBD.∴BD平分∠ABC.∴cos∠ABC＝＝＝.∴AE OE AO AE OE5＝＝(2)2PO＝3BC.(写PO＝BC亦可)∴＝＝.∴2PO＝3BC.(2)证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.由(1)知∠OBD＝∠CBF，∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.∴PB是⊙O的切线．(3)∵在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC BC3AB105∴BC＝6，AC＝AB2－BC2＝8.∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.AC BC AB，8＝6＝10.∴AE＝4，OE＝3.∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.∴AD＝AE2＋DE2＝42＋22＝2 5.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D，BD＝2PA.(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OP A的值．解：(1)证明：连接OB.∵BC∥OP，OB＝OC，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠P AO＝90°.∴PB是⊙O的切线．32证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.∵BD＝2P A，∴BD＝2PB.∵BC∥PO△，∴DBC∽△DPO.BC BD2PO PD3(3)∵CB∥OP△，∴DBC∽△DPO.∴DC BD22＝＝，即DC＝OD.∴OC＝OD.∴DC＝2OC.OP3x33DO PD3313设OA＝x，PA＝y.则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.在△Rt OBD中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即2x2＝y2.∵x＞0，y＞0，∴y＝2x，OP＝x2＋y2＝3x.OA x13∴sin∠OP A＝＝＝＝.类型4与特殊四边形有关10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF的长．解：(1)证明：连接OD.∵EF为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°.∵四边形AOCD为平行四边形，∴AO＝DC，AO∥DC.又∵DO＝OC＝OA，∴DO＝OC＝DC.∴△DOC为等边三角形．∴∠DOC＝∠ODC＝60°.∵DC∥AO，∴∠AOD＝∠ODC＝60°.∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.在△DOF和△BCF中，⎧DO＝BO，⎨∠DOF＝∠BOF，⎩OF＝OF，∴△DOF≌△BOF.∴∠ODF＝∠OBF＝90°.∴BF是⊙O的切线．(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°.∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，∴∠E＝∠OFD＝30°.∴OF＝OE.又∵OD⊥EF，∴DE＝DF.在△R t ODF中，∠OFD＝30°.∴OF＝2OD.∴DF＝OF2－OD2＝22－12＝ 3.∴EF＝2DF＝2 3.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切线．(2)过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝OA2－AF2＝52－32＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．(1)如图1，求⊙O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.＝2 2.解：(1)连接 OD ，OC.∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC.∴四边形 DOCP 是正方形．∵AB ＝4，∠ODC ＝∠OCD ＝45°，∴DO ＝CO ＝DC· s in45°＝4× 22 (2)连接 EO ，OP .∵点 E 是 BC 的中点，∴OE ⊥BC ，∠OCE ＝45°，则∠EOP ＝90°.∴EO ＝EC ＝2，OP ＝ 2CO ＝4.∴PE ＝ OE 2＋OP 2＝2 5.(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.∵AB ＝BC ，BF ＝BM ，∴AF ＝MC ，∠BFM ＝∠BMF ＝45°.∵∠AMN ＝90°，∴∠AMF ＋∠NMC ＝45°，∠FAM ＋∠AMF ＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.∵由(1)得 PD ＝PC ，∠DPC ＝90°，∴∠DCP ＝45°.∴∠MCN ＝135°.∵∠AFM ＝180°－∠BFM ＝135°，⎧∠FAM ＝∠CMN ， 在△AFM 和△MCN 中，⎨AF ＝MC ，⎩∠AFM ＝∠MCN ，∴△AFM ≌△MCN(ASA)．∴AM ＝MN.。