证明: 设有两个相距很远的带电导体球，如图：
用很长的细导线连接两导体球,
忽略两球间的静电感应，导体球上的电荷仍均匀分布。
整个导体系统是等势体。
Q
A
球：U
A
1 4
0
Q R
A R 0
q r
B
球：
UB
1
4 0
q r
B r 0
B
UA UB ,
★ 结论：
A r B R
R
A
q
R
o
孤立导体表面曲率处处相等时， 也处处相等。
(1)充电 Q， 两板间场强：E
(2) 两极板间电势差：
2 0r
Q Q
U AB
RB dr ln RB RA 2 0r 2 0 RA
RA
L
B A RB
(3) 电容： C Q 2 0 L
U AB ln( RB RA )
圆柱形电容器电容： C 2 0 L
ln( RB RA )
(10-54)
2 0 2 0 2 0 2 0
E4
1 A 2 3 B 4
a
E3 E2
E1
b点
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0 1
由电荷守恒定律：
A 板 1S 2S Q
2 3 4
b
E4 E1 E2 E3
B 板 3S 4S Q
AB
解方程得: 电荷分布
1
4
Q Q 2S
2
3
Q Q 2S
证明: 由高斯定理
由静电平衡条件
S E内
E内 dS
0 ,
1
0V0
dV
说明：高斯面可在导体内任选。
导体
S
dV
2. 孤立导体的电荷面密度与其表面的曲率有关，
•曲率越大电荷面密度越大。 ❖ 表面突出尖锐部分曲率大, 电荷面密度大;
导体
❖ 表面比较平坦部分曲率小, 电荷面密度小; ❖ 表面凹进部分曲率为负, 电荷面密度最小。
o
VO 0
VO V感 Vq
VO
q感
4 0R
q
4 0d
0
得：
q感
R d
q
q感
q
d
§10- 6 电容 电容器
一、孤立导体的电容 带电孤立导体球的电势： V Q
Q
4 0 R
oR
当 R 确定时,
Q V
4
0R
const
1. 电容的定义： C Q
(10-50)
V
2. 电容的单位：F（ 法拉 ） 1F 106 μF 1012pF
20 20 20
联立 (1) 和 (2) 可得:
1
0
2
,
2
0
2
p 282 例10-8
A,B导体板平行并相对放置，所带电量分别为Q和Q,,如果
两块导体板的四个平行表面的面积都是S，且都视为无限
大平面，试求这四个面上的电荷面密度。
解 ：设面密度分别为 1 , 2 , 3 , 4 由静电平衡条件：
a点 1 2 3 4 0
导体球的电势V1
VR1 2ER d1 rE
dl
R3E
d r
E
d r
R1
R2
R3
Q q q
q R1
R2 R3
R2 R1
4
q
0r 2
dr
R3 0 dr
R2
R3
Q
4
q
0r 2
dr
1 ( q q) 1 Qq
4 0 R1 R2 4 0 R3
导体球壳的电势
V2
V2 E dr
三、几种常见电容器的电容
1. 平板电容器
Q
S
A
极板面积S ，间距 d ( S >> d 2 )
Ed
(1) 充电 Q ；
Q
B
则极板间场强为： E Q （是均匀电场）
0 0S
(2)
两极板间电势差：VA
VB
U AB
E
d
Qd
0S
(3) 由电容定义： C Q VA VB
得： C 0 S
d
平板电容器电容：
已知：带电平面的电荷面密度为0 。
求：金属板两面的感应电荷面密度 。 (练习五 选择题3)
解: 设金属板两面感应电荷面密度分别为 1 和 2 。
由电荷守恒: 1 2 0
(1)
0 1 2
导体内场强由三个带电平面产生并且 = 0 ：
E内 E0 E1 E2 0
E内
0
0 1 2 0 (2)
导体和电介质
基本要求
一、掌握导体静电平衡条件，能分析带电导体在静电场 中的电荷分布。
二、掌握有导体存在时场强与电势分布的计算方法。 三、理解电容的定义，掌握电容的计算方法。 四、了解电介质的极化和电位移矢量。 五、了解有介质时的高斯定理。 六、理解电场能量，掌握电场能量的计算方法。
§10-5 静电场中的金属导体
★ 腔内无带电体时，导体的电荷
只分布在它的外表面上；
★ 腔内有其它带电体时, 导体的内表面 所带电荷与腔内电荷的代数和必为零。
2. 静电屏蔽
利用空腔导体将腔内外电场隔离， 这种作用称为静电屏蔽。
★ 结论： 接地的空腔导体可隔离腔内外电场的影响。
六、导体问题举例
例1: 无限大均匀带电平面的电场中平行放一无限大金属平板，
1 4 0 (2) 若Q Q
2
3
Q S
1
4
Q S
2 3 0
(3) 若Q 0
1
4
Q 2S
2
3
Q 2S
Q S
0
Q
S+ 0 + + +
Q S
0
Q
0S + + + +
QQ 2S 2S
++ ++ ++ ++
Q Q 2S 2S
-+ -+ -+ -+
例题 3 半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内、外 半径为R2 、R3的同心导体球壳，壳上带有电量为Q，如图 所示，求:
（1）两球的电势V1和V2， （2）两球的电势差 V V1 V2 (3) 用导线把球和球壳联在一后，V1 和V2及 V分别是多少 （4）在情形（1）、（2）中，若外球接地，
V1 和V2 及V分别是多少？
(5)设外球离地面很远，若内球接地，
V1,V2 , V各为多少？
Q
B
q
A R1
R2
O R3
解：(1) 各球面所带的电荷：
其中 Q — 极板上的电量； UAB — 两极板间的电势差(电压）。
２. 注意: C 仅与电容器两极板的形状大小、相对位置及内部
介质有关。
3. 电容器电容的计算步骤
(1) 给电容器充电 Q用高斯定理求 ；E
(2) 由 U AB
B E dl
A
求 U AB
；
(3) 由定义 C Q UAB 计算 C 。
一、导体的静电平衡条件
1. 静电感应
— 在外电场作用下, 自由电子做宏观定向移动,
电荷在导体上重新分布。
静电感应的结果： (1) 导体上的电荷重新分布；
q
导体
E
(2) 空间电场重新分布。
2. 静电平衡
— 导体内部和表面都没有电荷宏观移动的状态。
3. 导体静电平衡的条件： 导体内部场强处处为零。
(1) 场强特点：
Qq
R1 R2
R3
q
q R1
R2 R3
ΔV V1
(5) 内球接地， V1 0 , 电荷重新分布： 导体球表面： q
内表面： q 导体球壳： 外表面：Q q
V1
q
4 0R1
q
4 0R2
Q
4
q
0 R3
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q q q
q R1
R2 R3
得： q
Q R1R2
R1R2 ( R2 R1 )R3
仅由 S , d , 0 决定，与其所带电量、极板间电压无关。
例：
讲义 P.286 例题 10–9
a
解： d a , 充电 ，
建立坐标系如图：
EP
E
E
2
0
x
2
0(d
x)
O
P•
x
U AB
B
Edx
A
d a ( 1 1 ) dx a 2 0 x d x
d
ln d a 0 a
则：
C
4
0
RA RB RB RA
4
0
RA2 d
0S
d
可视为平板电容器的电容。
(2) 若 RB RA
C
4
0
RA RB RB RA
4
可视为孤立导体球的电容。
0
RA RB
RB (1
RA RB
)
4
0 RA
或 孤立导体球可视为一个极板在 处的球形电容器。
3. 圆柱形电容器
两极板的半径为 RA , RB ( RB RA RA ) , 长为 L 。
3. 注意： C 仅由导体本身的形状大小和 决0 定。
例：用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为多大 ？
R 1 9109 m
4 0
1600 R地球
二、电容器的电容
电容器 — 由两个带等量异号电荷的导体构成的器件。