第十章 静电场中的导体和电介质一 选择题1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。

设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势⎰⎰'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00εε 点电荷q 在球心处的电势为 aq V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势aq V V V 00π4ε='+=。

所以选（A ）2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。

所以选（C ）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d<R )，固定一电量为+q 的点电荷。

用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o 处的电势为( ))Rd (q R d q 11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000Rq d q V εε-+=。

所以选（ D ）4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( )A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则r q R Q 00π4π4εε= 即 rR q Q = Rr r q R Q r R ==22 4/4/ππσσ o R d +q ． 选择题3图 选择题2图所以选（D ）5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ( )A. ε0 EB. ε0εr EC. εr ED. (ε0εr -ε0) E解：根据有介质情况下的高斯定理⎰⎰∑=⋅q S D d ，取导体球面为高斯面，则有S S D ⋅=⋅σ，即E D r 0εεσ==。

所以选（B ）6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E 0，现断开电源，注满相对介质常数为εr 的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（ ）0r 00rr 0r r 00r 01 . D 1 . C 1 . B .A )E (εεE ε)(εE ε)(εεE εε --- 解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q 不变，D 0=D即 E E r 000εεε= 得到 r 0/εE E =又 P E D +=0ε0rr 0r 00000)1(E E E E D P εεεεεεε-=-=-= 所以选（B ）7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较 ( )A. 实心球电容值大B. 实心球电容值小C. 两球电容量值相等D. 大小关系无法确定解：孤立导体球电容R C 0π4ε=，与导体球是否为空心或者实心无关。

所以选（C ）8. 金属球A 与同心球壳B 组成电容器，球A 上带电荷q ，壳B 上带电荷Q ，测得球和壳间的电势差为U AB ，则该电容器的电容值为（ ）A. q /U ABB. Q /U ABC. (q +Q )/ U ABD. (q +Q )/(2 U AB )解：根据电容的定义，应选（A ）。

9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c 。

若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( )A. CB. ２C ／３C. 3 C ／２D. ２C 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：0 32)3(εσεσd d d d E U =-='= 其电容值变为： C d S S U Q C 23233d 2 00===='εεσσ 所以选（C ）10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？( )A. 电容器的电容量B. 两极板间的场强C. 电容器储存的能量D. 两极板间的电势差解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容dS C ε=，改变两极板间的距离d ，则电容C 发生变化；两极板间的场强dU E =，U 不变，d 变化，则场强发生变化；d /3 选择题9题电容器储存的能量2e 21CU W =，U 不变，d 变化，导致电容C 发生变化，则电容器储存的能量也要发生变化。

所以选（D ）二 填空题1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为σ(x 、y 、z )，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E (x 、y 、z ) = ，其方向 。

解：E (x 、y 、z )= σ(x 、y 、z )/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(σ>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。

2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。

已知带电面的电荷面密度为σ ，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为σ1和σ2 = 。

解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：022202010=-+εσεσεσ；21σσ-=。

由此可解得：21σσ-= ；22σσ=。

3. 半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒(R 1< R 2)，其间充满着相对介电常数为εr 的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为λ 和-λ ，则介质中的电位移矢量的大小D = ，电场强度的大小E = 。

解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D = λ /（2πr ），电场强度大小E = D /εr ε0=λ /（2πεr ε0 r ）。

4. 电容值为100pF 的平板电容器与50V 电压的电源相接，若平板的面积为100cm 2，其中充满εr =6的云母片，则云母中的电场强度E = ；金属板上的自由电荷Q = ；介质表面上的极化电荷Q' = 。

解：极板间电场强度V/m 1042.93r 0r 0r 0⨯====SCU S Q D E εεεεεε，两极板上自由电荷C 1059-⨯==CU Q ，由高斯定理，当有介质时，对平板电容器可有0εQ Q S E '+=⋅， Q 为自由电荷，Q'为介质表面上的极化电荷，代入已知数据可求得Q' = 4.17×10-9 C 。

5. 平行板电容器的两极板A 、B 的面积均为S ，相距为d ，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为 。

解：该电容器相当于是两个面积为S /2的电容器的并联，电容值分别为：d S C 211r 01εε=，dS C 212r 02εε=， )(22r 1r 021εεε+=+=∴dS C C C 6. 半径为R 的金属球A ，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10-5J,今将该球与远处一个半径是R 的导体球B 用细导线连接，则A 球储存的电场能量变为 。

解：金属球A 原先储存的能量J 1052152-⨯==CQ W ,当它与同样的金属球B 连接，则金属球A 上的电荷变为原来的1/2，则能量J 1025.1)2/(2152-⨯=='CQ W 7. 三个完全相同的金属球A 、B 、C ，其中A 球带电量为Q ，而B 、C 球均不带电，先使A 球同B 球接触，分开后A 球再和C 球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A 、B 两球所储存的电场能量W e A 、W e B ，与A 球原先所储存的电场能量W e0比较，W e A 是W e0的 倍，W e B 是W e0的 倍。

σ σ 1 2 填充题2图解：初始A 球的电场能量CQ W 20e 21=，先使A 球同B 球接触，则 Q Q Q B A 21==，0e 2e 41)2/(21W C Q W B ==， 分开后，A 球再和C 球接触，则Q Q Q C A 41=='，0e 2e 161)4/(21W C Q W A == 8. 一空气平行板电容器，其电容值为C 0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W 0，今在两极板间充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，则此时电容值C = ，储存的电场能量W e = 。

解：初始时电容000U Q C =，充电后将电源断开，Q 0不变，由r 0/εεD E =，当两极板间充满电介质时，两极板电势差r 0r 00r 0εεεεεU S d Q d D Ed U ====，0r 0C UQ C ε==∴ r 0r 20202121εεW C Q C Q W ===。

9. 一平行板电容器，极板面积为S ，间距为d ，接在电源上并保持电压恒定为U 。

若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的改变为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。

解：初始时，电容器的静电能2000002121U dS U Q W e ε==将极板距离拉开一倍，电容值变为00212C d S C ==ε，极板间电压不变，00002121Q U C CU Q ===∴，此时电容器的静电能200e 0e 414121U dS W QU W ε=== ∴电容器中静电能的改变 200e e e 41U dS W W W ε-=-=∆ 电源对电场做功200021)21(U dS Q Q U q U W ε-=-=∆= 由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功dSU U d S U d S W W W 424202020e εεε=+-=-∆=' 10. 平板电容器两板间的空间（体积为V ）被相对介电常数为εr 的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为σ，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为 。