一类线性方程组的解法
【引言】历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
线性代数有三个基本计算单元：向量(组)，矩阵，行列式，研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与矩阵计算和线性变换，构建向量空间和欧式空间。
线性代数的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是化简（降解）和同构变换。
【摘要】
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。
因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。
现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。
【关键词】：矩阵行列式向量线性方程组增广矩阵矩阵的秩系数矩阵
【正文】
求解非齐次线性方程组
解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换
可见R（A）=R（B）=2〈3，由定理7可得方程组有无穷多解。
再将B化为行最简形矩阵
C为行最简形矩阵，其对应的方程组为
这个方程组中有3个未知量，两个方程，则必有1个自由未知量。
设z=c（c为任意常数）
所以原方程组有无穷多个解，其通解为x=2-c，y=2+2c，z=c。
用向量表示为
【摘要】矩阵的秩增广矩阵线性方程组向量行列式线性方程组的一般形式为
（Ⅰ）
还可表示为A x=b,
其中被称为系数矩阵。
称为增广矩阵。
，
当b=0时，称方程组A x=0为齐次线性方程组，
当b≠0时，称方程组A x=b为非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是，是非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是，是齐次线性方程组。
下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。
设线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵可由初等变换化为，则A x=b与B x=d
是同解的方程组
注意：如果是齐次线性方程组b=0，只需对其系数矩阵进行初等变换换。
可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，首先将其系数矩阵A或增广矩阵施以初等行变换化简成为行最简形矩阵，再利用系数矩
阵的秩数讨论其解。
下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。
1. 齐次线性方程组的解
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R(A)<n。
证明：必要性
已知方程组A x=0有非零解，用反证法证明。
设R（A）=n，则在A 中必有一个n阶非零子式，从而所对应的n个方程只有零解，这与已知矛盾。
因此R（A）≠n，即R（A）<n。
充分性
已知R（A）=r<n，则A的行最简形矩阵只含r个非零行，其余n-r行都为零，这n-r个行所对应的变量是自由变量，可以任意取值，所以，可知方程组有非零解。
例求解齐次线性方程组
解：系数矩阵
将A施以初等行变换
B为最简形矩阵，R（B）=2〈3，由定理6知，方程组Bx=0有非零解
B所对应的方程组为
这个方程组中有4个未知量，两个方程，故应有4-2=2个自由未知量。
用向量表示为
此解是方程组Bx=0的通解，再由定理5知，它也是方程组Ax=0的通解。
2. 非齐次线性方程组解
对于非齐次线性方程组
如果系数矩阵A是可逆矩阵（或满秩矩阵），其解为
如果系数矩阵A是非满秩矩阵，其解的情况较复杂，可能无解，可能有唯一解，也可能有无穷多解。
定理7 对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R(A)= R
当R(A)=R=n时，方程组有唯一解
当R(A)=R <n时，方程组有无限多解
当R(A)<R时，方程组无解
证明：必要性
已知方程组A x=b 有解，用反证法证明。
设R(A)<R，则将化为行最简形矩阵，可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1，这与方程组有解相矛盾，因此R(A)=R
充分性
当R(A)=R=n时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。
当R(A)=R <n时，将化为行最简形矩阵可知，方程组有n-r个自由未知量，可令它们分别取则方程组解中含有n-r个任意常数，因而，有无穷多个解。
当R(A)<R时，可得方程组无解。
证毕。
求解非齐次线性方程组，只要将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即可判断其是否有解；若有解，再进一步将化为行最简形矩阵，写出其通解。
例求解非齐次线性方程组
解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换
B是行阶梯形矩阵，R（B）=3，即R=3。
由于R（A）=R=3=n，可得方程组有唯一解。
再将B化为行最简形矩阵，
C为行最简形矩阵，其对应的方程组的解为
方程组A x=b 与之同解，所以A x=b 有唯一解x=1，y=2，z=-3。
例求解方程组
解：其增广矩阵为，
对其进行初等行变换
观察B的第2，3行，即可看出R（A）=3，R（B）= R=4
R（A）〈R
所以原方程组无解。
应用:（平板热传导问题）热传导研究中的一个重要问题是，已知金属薄片边界附近的温度，确定其稳态温度的分布。
假设下图所示的金属薄片表示一根空心金属柱的横截面，并且忽略与盘片垂直方向上的热量传递。
将薄片划分成一些正方形网格，位于四条边界上的点称为边界点，而其它的点叫做内点。
测量表明，当加热或者冷却时，任一内点的温度约等于它相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均。
我们希望边界点的温度（o C）如图所示，这是可能的吗？如果可能，试问内点的温度分布惟一确定吗？
【解】将六个内点编号为①至⑥（见图），并设对应的温度分别为t
1至t
6。
由于任一内点的
温度约等于相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均，因此可以得到内点温度分布满足的线性方程组为
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t --=⎧⎪-+--=⎪-+-=⎪
⎨-+-=⎪--+-=⎪⎪--+=⎩
12
412352361
452456356430420460440430470 此方程组系数矩阵的秩为6，增广矩阵的秩也为6，因此该方程组有唯一解，即内点的温度分布惟一确定。
利用数学软件可以很快地求出该方程组的唯一解（近似值）为
.,.,.,.,.,.t t t t t t ======123456186962347828696213042652231304。
小组成员：张丽丽
杨潜 钱博凡
2011年6月
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40。