教材106页例2：求二面角α-l-β的余弦值。 教材109页例4:求二面角C-PB-D的大小。
A
1
改编教材109页 例4
如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA||平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;
A
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练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1 上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
解:建立如图空间直角坐标系， D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4) ur co 平平s 面面n ur1BA,n u 1Du r2D EE 的的|n u n u 法r1 r1 法||n u 向n u u ru 2 向r2|量 量-4 1 n 2 u4 nur21((41,,1-,1 ,22)) 根据观察，二面角为………。
置关系的变化，及空间想象能力的培养。 5、分析、归纳问题的能力。
A
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课后作业
教材112页，A组第6题. B组第2，3题.
A
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为内部向量。
A
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内部向量MN判定法
uuuuruur MNn1 0 uuuuruur MNn2 0
异 号 互 补
uuuuruur uM uuNurunur1 0 MNn2 0
A
uuuuruur uM uuuN runur1 0 MNn2 0
同 号 相 等
uuuuruur uM uuNurunur1 0 MNn2 0
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练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1 上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
解:建立如图空间直角坐标系，
D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0, 2向法,1量向),A量1(nur21,0(,n 1u4u ,r2-)1 u 求r,2(4)u 得,u r1，,平2平)面面BDAE1D的E法的
A
2
用法向量求二面角的大小
成都七中高新校区 康盛
两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？
根据上图，分小组进行讨论---“两法向 量的夹角与二面角的关系.”
A
4
两法向量的夹角与二面角的关系
θ =π- φ 互补
A
θ= φ 相等
5
如何判别互补还是相等？
A
6
根据教材109页例4改编
如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA||平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;
A
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齐相国老师刊登在《数学通讯》2009年第4期的《法向量 求二面角时法向量方向的判定方法》。 李峰老师发表在《数学通讯》2010年第9期的《对“法向 量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进 》
A
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内部向量MN判定法
规定:如图,分别在半平uu面uurα，β内各取一点 M,N(不在棱上取),我们称 M N (与法向量不共线)
A
Hale Waihona Puke 16练习题2如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;
解:建立如图空间直角坐标系，
A(0,0,0), B( 0,2,0),C(2,2,0), D(1, 0向Sco ,D0s量)C,S的u A u (uA D u 0ru法D u,,rn r0向, 1( 1)量,易0u u A ,u u 0知u D u r)rnr平 n r，r(2面 求,2 S1出,A2平)B的面法
14 .
42
A
14
用法向量求二面角的大小的一般步骤:
1、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。 2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。 3、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量 （同号相等，异号互补），判定二面角的大小。 4、下结论。
A
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练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;
cosn ur1,n uu r2|n u n r1 1||n n uu 2 r2|-4 1 2 4
取内部向量
u u u r u r
uuur u A u u 1r B u u r (0,2,4)
A 1 B n 1 - 1 0 0 , A 1 B n 2 1 0 0
故二面角A1-DE-B的余弦值为
|u A uD u r||n| 3
取内部向量 BD(1,2,0)
u u u ru u u r u u u rr B D A D 1 0 , B D n 4 0
故二面角的余弦值为 2 .
3
A
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课堂小结
1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。 2、利用内部向量判定二面角的大小。 3、用法向量求二面角大小的一般步骤。 4、感知空间中点、线、面在运动过程中的位
|A C||n| 3
根据观察，二面角为锐二面角，
故二面角F-BD-E的余弦值为 6 .
3
A
7
判断互补还是相等的简单的方法 是：观察二面角的大小来判定.
A
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练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,点E在 CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
解:建立如图空间直角坐标系，
A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0) u,uuEr (0,1,1)
易设得平r u 平面uu rB面DBED的F的法向法量向量nr(x,AyC ,z)(2,2,0)
n ru D uE u ryz0
r n(1,1,1)
co sn D u A u B C u r, n r2 x 2 u u A u u yu C u rr n 0 rr 6