解 星形线的参数方程为
y
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 t 3 y a sin t
(0 t 2)
a
o
a x
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由对称性,有
2 S 2 2y 1 yx dx 0 a
4 a sin3 t 3a cos t sin tdt 12 2 a . 5
解 A 2 a(1 cos t ) x ' y ' dt 0 2 t 2 2 2a (1 cos t ) | sin | 0 2 64 2 a 3
2 2
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2
21
例 3 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的表面积.
思考题解答
xy 4 y 1
立体体积 交点 ( 4,1),
y
y 1
o
x
Vy

1

x 2dy
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16 16 dy 16. 2 1 y y 1 福州大学数学与计算机学院
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第四节 旋转曲面面积
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圆台
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1、绕 x 轴旋转所得旋转体体积
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b ]
在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
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通过 x 轴上的点 x 与 dx 分别作垂直于 x 轴的平 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面 积，取其为面积元素，
y
y f ( x)
dS 2 f ( x) 1 f '2 x dx
圆锥体的体积
2
P
r
o
h
x
r x hr 2 r V x dx 2 . 0 3 h 3 0 h
h
2
2
3 h
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例 2 求星形线 x y a ( a 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积.
R
R
2
x R x 1 2 2 dx R x
2 2
2
4 R
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例2、求摆线 x a (t sin t ) (0 t 2 ) y a (1 cos t ) 绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积。
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'2 '2
x x t , t , 定义， y y t


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例 1 、求半径为R的球面面积。
解：球面可看作由半圆y R x
2 2
( R x R )绕x轴旋转而成，于是
A 2
V a A( x )dx
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b
A(x)
2
例1
求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.
解
取坐标系如图 底圆方程为
y
o x 2 y 2 R2 , 垂直于x 轴的截面为等腰三角形
立体体积 V h
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第三节
体积
一、平行截面面积为已知的 立体的体积 二、旋转体的体积
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1
一、平行截面面积为已知的立体的体积
设 为三维空间中的一立体，它夹在 x＝a 和 x ＝ b （ a<b ）这两个平行平面之间，在任意一点 x [a , b]处作垂直于 x 轴的平面去截此几何体， 它截得的截面面积显然是 x 的函数， 记为 A （x ） ， 称为 的截面面积函数。如果 A(x)是[a,b]上的 （R ）可积函数，则该几何体的体积 V 等于：
11
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2、绕 y 轴旋转所得旋转体体积
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y )、 直线 y c 、y d 及 y 轴所围成
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体
y
积为
d
V [ ( y)] dy
2 c
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2

a 2 ( t sin t )2 a sin t dt
0

a
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3
0
2
( t sin t )2 sin t dt 6 3a 3 .
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思考题
求曲线 xy 4 ， y 1 ， x 0 所围成 的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积.
o
x x dx
x
旋转曲面的面积为
S 2 f x 1 f
a
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b
'2
x dx
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若曲线由参数方程
且 y t 0, 则由弧微分只是推知曲线 C 绕 x 轴 旋转所得曲面的面积
S 2 y t x t y t dt
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
b
V a [ f ( x )]2 dx
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例 1 连接坐标原点O 及点P ( h, r ) 的直线、直线
x h 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴 旋转构成一个底半径为 r 、高为h 的圆锥体，
计算圆锥体的体积．
x
RLeabharlann x截面面积 A( x ) h y h R 2 x 2
R R
R 2 x 2 dx R 2 h.
3
1 2
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例 2 求由两个圆柱面
x2 y2 a2 与z2 x2 a2
所围成的立体的体积。
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4
解 图形为所求体积的 1/8,过点(x,0,0)作垂直 于 x 轴的截面为正方形,边长为 成的立体的体积
a
a 2 x2 ,所以所围
16 3 V 8 (a x )dx a . 3 。 0
2 2
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5
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
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圆锥
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d
x ( y)
c
o
x
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例 求摆线 x a ( t sin t ) ， y a (1 cos t ) 的 一拱与 y 0 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
2a
Vx
0
2a
0
y 2 ( x )dx
2 0
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o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的 2 薄片的体积为体积元素，dV [ f ( x )] dx
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于是可得：
设 f ( x ) 是[a , b] 上连续函数， 则由平面图形
0 | y || f ( x ) |, a x b
解 直线 OP方程为
y
P
r y x h
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
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以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 的体积为 y
r dV x dx h
a 2 (1 cos t )2 a(1 cos t )dt a
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2
3
0
2
(1 3 cos t 3 cos 2 t cos 3 t )dt 5 2 a 3 .
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绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
2a 2 2a
y
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
B x x2 ( y ) 2a C x x1 ( y ) A o 2 a x
V y x 2 ( y )dy x 12 ( y )dy
0 0
a 2 ( t sin t )2 a sin t dt
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旋转曲面的面积
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，其面积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b ]
在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
解 y a x ,