至少有1只失效的概率。
解
1、 1k
x2d x
100
k
1 x 100
k 100
k100
2. PX150 100150x2d x 10(01 1 )1
100
100150 3
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i1,2,3,4. 10
P A iP X15 0 13
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为 P(A1UA2UA3UA4)1P(A 1UA 2UA 3UA 4) 1 P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )P (A 4 )
PXDpxdx
D
对连续型随机变量X, 有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
9
例1 某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
px0kx2
x100 other
求 1、常数 k .
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。
3、一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150h后，
p (x)
F (x)
0x x
12
连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx 是连续的单增函数
0 F x 1x ,
F(x)＝x p(t)dt px0
F (x)
p (x)
1
F (x)
0x x
0
x
13
（2）若 px 在点x 处连续，则有 F(x)px
pxlimFxxFx
x 0
x
PxXxx
lim
第五节
第二章
连续性随机变量
一 、概率密度函数的概念 二、概率密度函数的性质 三、连续型随机变量的分布函数
1
一、概率密度函数的概念 离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但
另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个， 其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X 的 取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机 变量的统计规律性。
解 FAB0
2
FAB1
2
A1
B1 2
Fx1arcxt a1 2n
17
例4 设随机变量 X 的密度函数为
解：
p(x)
2 ,
1x2
0x1
0, 其它
FxPXx xptdt
求 Fx.
对 x < 0， Fx0
对 0 x 1,
2 x
F(x)
0
1 dt 2 arcsinx
该连续型随机变量 0
的概率分布规律就得到了全面描述.
xx
3
二、 概率 密度函数的性质
(1) 非负性 p x 0x ,
(2) 归一性
p(x)d＝ x1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
这两条性质是判定一个函数 p(x) 是否为某随机变量
X的密度函数的充要条件。
p (x) 面积为1
1
0
x
x 0
x
(3) F( )lim F(x)＝ 0. x F()limF(x) x p(x)d＝ x1.
p(x)
1
0
x
面积为1
14
例1 设有函数
sinx 0x
F(x)
0 其它
试说明 Fx 能否是某个随机变量的分布函数.
解： 注意到函数 Fx 在 [ 2,] 上下降，
不满足性质(1)，故 Fx 不能是分布函数.
的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
8
若已知连续X的 型密 随度 机p函 变 x， 数 量
则X 在 任 意 区D（ 间D可 以 是 开 区 ,也间可 以 是 闭区间，或半开半 间闭 ；区 可以是有限区间 也可以是无穷区间 取） 值上 的概率为，
a
lim x0 ax
p(x)d
x
0
可见， 由P(A )=0, 不能推出
A
由P(B )=1, 不能推出 B = S 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
7
p (x) 要注意的是: 密度函数
p(x) 在某点处 a的高度
1
0
x p(a) 并不是 X a的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线
这里，如果把概率理解为质量，p(x) 相当于线密度.
p(x) 不是概率. p(x)dx 在连续型随机变量理论中
所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型随机变量
理论中所起的作用相类似.
6
（5） 对任意实数a，则 PXa0
这是因为
P (X a ) liP m ( a x X a ) x 0
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其 导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
P(Xx)＝x p(t)dt
则称X为连续型随机变量， p x 为X的概率密度函数，
简称密度函数或密度.
p (x)
所以若已知密度函数，
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于pxx.
5
对 p(x) 的进一步理解:
若 x是 p(x) 的连续点，则：
xx
lim P(xXxx) lim x p(t)dt
x 0
x
x0
x
p(x)
故X 的密度 p(x) 在x这一点的值，恰好是X 落在
区间 (x,xx] 的概率与区间长度x 之比的极限.
1 (2)4 65 3 81
11
三、连续性随机变量的分布函数
对于连续性随机变量X，存在密度函数
px x ,使对任意实数 x , 都有
F(x)＝ P(Xx)＝ x p(t)dt
则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数，
由于连续型随机变量的分布
函数唯一被它的密度函数所 确定. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量的概率 分布规律就得到了全面描述。
或者
F() lim F(x)0
x
不满足性质(2)，
可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.
15
例2 设连续型随机 X的 变分 量布函数为
F x1 2 1arc xta n x
试求 X 的密度函数．
解 设 X的密度p函 x， 数则 为 pxFx111x2 x
16
例3 已知 F xAx 1 X x 2 ) ＝ x2 p(t) d t x1
密度函数的几何意义
即X落在[x1, x2]上的概率 [x1,x2]
上曲线 ypx 之下的曲边
x1 x2 p (x)
梯形的面积。
（4）若 px 在点x 处连续，则有
px lim PxXx x
x 0
x
0 x1 x2 x
若不计高阶无穷小，有： P x X x x p x x