2 .5 3 3
[2.87,2 5.363 ,1]6 T x(2) x(1) 2.132720
华长生制作
0
x(3) BJx(2) f
4 11
1 2
3 8 0
1 4
1 4 1
11
0
2 . 875 2 . 3636
1
2 .5 3 3
[3.13,2 6.044,5 0.957]T 16 x(3) x(2) 0.4127
定义4. 由(7)式确定的 A称为从属于给定向量
范数x
的矩阵范数
简称为从属范数或算子范数
11 华长生制作
显然，由定义不难推出
AxA x
--------(8)
定义5. 对于给定的向 和 量矩 范阵 数范 , 数 若 xRn,ARnn,都有
AxA x
--------(9)
则称所给的向 和 量矩 范阵 数 范 相数 容 .
由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的
12 华长生制作
根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数
(1)
A1m x0 a A xx1 x1
n
max
1 jn i1
aij
--------(10)
A的每列绝对值之和大 的值 最, 称A的列范数
(2)
Am x0 aA xx x
max
1in
n j1
设 a ii 0(i 1 ,2 , ,n ),则可从上式解出xi
华长生制作
x1a1 11 [b1(a1x 22a1nxn)]
20
x2a 1 2[2 b 2(a 2x 1 1a 2x 3 3a 2nxn)]
依此类推,线性方程组(1)可化为
华长生制作
x1
a111(b1
n
a1j
j1
xj
)
j1
x1a111(b1j n1a1jxj)
--------(1)
设 A R n n ,b R n ,x R n
17 华长生制作
如果能将线性方程组(1)变换为 xBxf
其 B 中 R n n ,f R n ,x R n
--------(2)
显然,(1)式和(2)式同解, 我们称(1)(2)等价
对线性方程组(2),采用以下步骤:
取初始 x(0向 ),代量 (入 2)可 , 得
而且可以验证 A F t(r A T A )1 2 t(r A T )A 1 2
华长生制作
tr为矩阵的迹
--------(6)
10
设xRn,ARnn, 为一种向量范数
则Ax对所有 x0的 有最大 ,令值 x
A
max x0
Ax x
--------(7)
可以A验 满证 足 2的 定 4个义 条件
x ( k 1 ) x ( k ) D 1 A ( k ) x D 1 b
华长生制作
x (k 1 ) D 1 (D A )x (k ) D 1 b --------(6)
22
令
L
0
a21
0 0
00 A的下三角部分
的负矩阵
an1 an2 0
U
00
a12 0
0 0
一、简单迭代法(基本迭代法)
设线性方程组(1)的一般形式为
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1
a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n x n n b n
lk i m xi(k)xi (i1 ,2 ,L,n )
x x 则 华长生制作 (k) 称收敛于
,记为
lim x(k)
k
x.
7
x 定理6 设N(x) x是 R n上任一向量范数,则N(x)是
的分量 x1,x2,,xn 的连续函数。
定理7 设 x
在常数c1，c2
,x
s
0
,使是t 得R对n 一上切向量x的任R意n 两有种范数，则存
U
0 0 0
3 0 0
2 1 0
L
0 4 2
0 0 1
000
25 华长生制作
0
BJ D1(LU)
4 11
3 ห้องสมุดไป่ตู้ 0
1 4 1
11
1 2
1 4
0
f
D1b
2 .5 3 3
取初 x(0)[值 000]T,使J用 ac 迭 ob 代 i 法
x(k1) BJx(k)f (k0 ,1 ,2 , n , )
Axb
称(5)式和(7)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法)
华长生制作
BJ为Jacob迭 i 代法的迭代矩阵 24
例6. 用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4
284
3 11 1
241xxx231
123203
解:
A 284
3 11 1
241
D
8 0 0
0 11 0
0 0 4
x1
x2
x3
3.0000
2.0000
1 . 0000
1.0000 d = 3.0647e-005
线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭,
华长生制作
也称为向量空间
3
一、向量和矩阵的范数
定义1. 对于 n维向量R空 n中间 任意一x个 , 向量 若存在唯一x一 R与 个 x对 实应 数，且满
( 1 )( 正 )x 定 0 , 且 x R 性 n ,x 0 x 0 ;
A1
A
A2
A F
容易计算
计算较复杂 不是从属范数
对矩阵元素的 变化比较敏感
较少使用
性质较好
华长生制作
使用最广泛
16
§7.6 解线性方程组的迭代法
在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换
如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大
并且大量占用计算机资源
因此对线性方程组
Axb 要求找寻更经济、适用的数值解法
( 2 )( 齐 ) 次 x x ， 性 x R n , R ;
(3 )(三角 )x 不 yx 等 y， 式 x ,y R n . 则称 x为向x的 量范. 数 对于复线性C空 n中间 的向量范数可定以义类似
4 华长生制作
x p (x 1px 2p x np)1p --------(4) x的 p范,数 p1
第七章 解线性方程组的数值方法
1 华长生制作
第七章 解线性方程组的数值方法
§7.1 引言 Axb i§2 7,.3 2,G,n auss消去法
§7.3 选主元的Gauss消去法
a11
A
a21
an1
华长生制作
aa12§22 § 7.47.5aa矩21nn阵向 的量三和角矩分阵解的范数
§ 7.6
对(4)作迭代过程
x(k1) i
xi(k)a 1 ii(bi j n1aijx(jk))
( i 1 ,2 , ,n ;k 0 ,1 ,2 , )
--------(5)
设 D d( a i1 , a a 1 2 , 2 g ,a n )n
则(5)式转化为矩阵形式
x(k 1 )x(k)D 1 (bA(k)x )
依此类推,得方程组满足精度的解为x12
x4 = 3.0241 x5 = 3.0003 x6 = 2.9938 x7 = 2.9990 x8 = 3.0002 x9 = 3.0003 x10 = 3.0000 x11 = 3.0000 华x长1生2制=作 3.0000
1.9478 1.9840 2.0000 2.0026 2.0006 1.9999 1.9999 2.0000 2.0000
解: x 1 x 1 x 2 x 4 9
x 2 (x 12 x 22 x 42)1 2 273 3
x
m 1ia4xxi
4
定义（向量序列的极限）
设 x(k) 为向量序列，记 x ( k ) ( x 1 ( k ),x 2 ( k ),L ,x n ( k )) T R n
及 x (x 1 ,L,x n )T R n . 如果n个数列极限存在且
x2
a122(b2
n j1
a2
j
xj
)
j2
x2
a122(b2
n
a2jxj)
j1
-----(4)
xi
1 aii
(bi
n
aijxj )
j 1
xi
a1ii (bi
n
aijxj)
j1
j i
xn
a1nn(bn
n
anjxj )
j1 jn
xn
a1nn(bn
n
anjxj)
j1
21
( 1 ) ( 正 )A 定 0 , 且 A R n 性 n ,A 0 A 0 ;
( 2 )( 齐 ) 次 A A ， 性 A R n n , R ;
(3 )(三角 )A 不 B A 等 B ， 式 A ,B R n n . ( 4 ) A B A B ， A ,B R n n .
显然
x
和
1
x2
是xp在p1和p2时的特例
并且由于
m 1ianxxi (x1px2p xnp)1p(nm 1inaxxi p)1p
1
n pm 1ian xxi m 1inaxix(p )
xp x(p 时 ),所以x
也是x
的特例
p
华长生制作
且xx2x1
6