山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号61
平面向量的数量积
【学习目标】 复习回顾平面向量数量积的定义、几何意义、性质、运算律及坐标运算
【学习重难点】平面向量数量积的定义及几何意义的使用；平面向量数量积的运算
【学习过程】
（一）基础梳理
1．向量的夹角定义及夹角范围 .
2．两个向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则=⋅b a ；a ⋅0＝ .
3．向量数量积的几何意义： . 4．向量数量积的性质：设,a b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．
则 (1)=⋅=⋅e a a e ； (2)a b ⊥⇔ ；
(3)当a 与b 同向时， =⋅b a ；当a 与b 反向时， ==⋅b a ， 特别的，2
=a a a 或者=a a a ；
(4)cos =θ ； (5)||||||≤⋅.
5．向量数量积的运算律
(1)=a b b a ⋅⋅； (2)=()=()a b a b a b λλλ⋅⋅⋅； (3)(+)=+a b c a c b c ⋅⋅⋅.
6．平面向量数量积的坐标运算：设向量11=(x ,y )a ，22=(x ,y )b ，则：
(1) =⋅＝ ； (2)=a ； (3)cos ,=a b ； (4) a b ⊥⇔ .
7．若11A(x ,y )，22B(x ,y )，AB a =，则=a .
（二）巩固提高： 1.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|3|a b + = （ ）.
A 7
B ．10
C 13．4 2.已知向量a 、b 的夹角为︒120133=+=b a a b 等于（ ）.
A.5
B.4
C.3
D.1
3．已知向量=(1,2)a ，向量()2,-=x ，且(-)a a b ⊥，则实数x 等于( )．
A ．9
B ．4
C ．0
D ．－4 4.已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足AB AP λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若23-=⋅，则λ=（ ）.
A.2
1 B.221± C.2101± D.2223±-
5.若c b a ,,均为单位向量,且0=⋅b a ,()(),0≤-⋅-c b c a ,则c b a -+的最大值为( ). A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2
6.已知==2a b ，()
+2(-)=-2a b a b ⋅，则a 与b 的夹角为________．
7.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+=_____. 8.如图，在矩形ABCD 中，
2,2==BC AB 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=⋅AF AB ，则BF AE ⋅的值是 ．
9.若平面向量,a b 满足：23a b -≤，则b a ⋅的最小值是_____.
10.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______.
11.如图，P 为△AOB 所在平面内一点，向量b OB a OA ==,且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量c OP =.若,3=a ,2=b ，则()b a c -⋅的值为 .
12.在平行四边形ABCD 中，3π
=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、
N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足
||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范
围是 . 13．如图，在△ABC 中，AD AB ⊥，BD BC 3=，1||=AD ，则
=⋅AD AC .
14．已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x x x a b ==-,且]2
,0[π∈x ,求:(1);b a b a +⋅及 (2)若()b a b a x f +-⋅=λ2的最小值是23-
,求λ的值.
15．已知向量m =(1,1)，向量n 与向量m 夹角为
4
3π，且1-=⋅n m (1)求向量n ； (2)若向量n 与向量=(1,0)q 的夹角为
2
π，向量2=(cosA,2cos )2C p ，其中,A C 为ABC ∆的内角，且,,A B C 依次成等差数列，试求+n p 的取值范围.。