第六章 理想流体动力学6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于044=-=∂∂+∂∂yVy x Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz =21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=)44(21+-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，.（3）因 Vx yx ∂∂=∂∂=ψϕ=4x+1 Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=-4y d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy φ= ⎰d φ=⎰x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (4x+1)dx+(-4y)dy =2x 2-2y 2+xd ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy ψ= ⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰ 4ydx+(4x+1)dy =4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ .解：（1）由于x Vx ∂∂+xVy ∂∂=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz =21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=))2(2(21y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.（3）因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ= x 2-y 2+x, Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=-(2xy+y). d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dy φ= ⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy =⎰ (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy =33x -xy 2+(x 2-y 2)/2 d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy ψ= ⎰d ψ=⎰x ∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy =x 2y+xy-y 3/36-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值解: 因 Vx=x ∂∂φ =y ∂∂ψ=2x-1，V y ＝y x y 2-=∂∂-=∂∂ψφ，由于x Vx ∂∂+xVy ∂∂＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy ψ= ⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰2ydx+(2x-1)dy=2xy-y 在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=66-4已知平面流动速度势函数 φ=-π2q lnr,写出速度分量Vr,V θ,q 为常数。
解: Vr=r ∂∂φ =-r q π2, V θ=θφ∂∂r ==0 6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-m θ+C ,写出速度分量Vr 、V θ, m 为常数解: Vr=r ∂∂φ =0, V θ=θφ∂∂r ==-rm 6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx ,εyy , 求出速度势函数φ.解： 因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ= 1 Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=-1 d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ= ⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰dx+(-1)dy=x-y y v x v y yy x xx ∂∂=∂∂=εε,a x=0=∂∂+∂∂+∂∂=yVx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx ； a y =0=∂∂+∂∂+∂∂=yVy Vy x Vy Vx t Vy dt dVy 6-7 已知平面流动流函数ψ=x 2-y 2,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.解： 因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ= -2y Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=-2x d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ= ⎰d φ=⎰x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰-2ydx+(-2x)dy=-2xy a x=4=∂∂+∂∂+∂∂=yVx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx x a y =4=∂∂+∂∂+∂∂=y Vy Vy x Vy Vx t Vy dt dVy y; 6-8一平面定常流动的流函数为(,)x y y ψ=+试求速度分布，写出通过A （1，0），和B （2.解：1x v y ψ∂==∂, y v xψ∂=-=∂平面上任一点处的速度矢量大小都为2=，与x 和正向夹角都是060=。
A 点处流函数值为3-?301-=+，通过A 点的流线方程为y +=样可以求解出通过B 点的流线方程也是y +=6-9 已知流函数ψ=V ∞(ycos α-xsin α),计算其速度,加速度,角变形率(xy ε=yx ε=21(x v y ∂∂+y v x ∂∂)),并求速度势函数φ. 解： 因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ= V ∞cos α Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ= V ∞sis α d φ=x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ= ⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy= V ∞⎰cos αdx+ sis αdy = V ∞( cos αx+ sis αy)a x =0=∂∂+∂∂+∂∂=yVx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx a y =0=∂∂+∂∂+∂∂=yVy Vy x Vy Vx t Vy dt dVy ; xy ε=yx ε=21(x v y ∂∂+y v x ∂∂)=0 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
解: 不可压缩三维流动的连续性方程为0x y z v v v x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 将关系x y z v v v x y zϕϕϕ∂∂∂===∂∂∂， ， 代入上式得到 ()()()0x x y y z zϕϕϕ∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂ 或 2222220x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂ 可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。
6-11 什么样的平面流动有流函数?答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程0x y v v x y∂∂+=∂∂ 或x y v v x y∂∂=∂∂（-） 的情况下平面流动有流函数.6-12 什么样的空间流动有势函数?答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量ω=x ωi+y ωj+z ωk 都是零矢量，即0x y z ωωω===，或关系yv x v x v z v z v y v x y z x y z ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,,成立, 这样的空间流动有势函数.6-13 已知流函数ψ=-θπ2q ,计算流场速度. 解: Vr=θψ∂∂r =-rq π2 V θ=-r∂∂ψ=0 6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.解： 因 Vx=x∂∂φy ∂∂=ψ=a(3x 2-3y 2) Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=-6axy d ψ=x ∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x 2-3y 2)dyψ= ⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰6axydx+a (3x 2-3y 2)dy =3a x 2y-ay 3在A(0,0)点 ψA =0； B （1,1）点ψB =2a ，q=ψA-ψB =-2a.6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x 2 +y 2), 试确定该流动的势函数φ.解：因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ=222y x y + Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=-222y x x + d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=222y x y +dx-222y x x +dy ⎰=φ Vxdx+Vydy=⎰222y x y +dx-222y x x +dy=-2)arctan(xy 6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为1ϕ，2ϕ, 流函数分别为12ψψ，。
现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。
合成流动仍然是一有势流动，其势函数ϕ可由下式求出：21ϕϕϕ+=同样，合成流动的流函数ψ等于12ψψψ=+6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数ϕ和流函数ψ与速度分量y x v v ,有什么关系?解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数ϕ和流函数ψ与速度分量y x v v ,有如下关系.,x v y x =∂∂=∂∂ψϕ y v xy =∂∂-=∂∂ψϕ 6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?解:在平面定常有势流动中，势函数ϕ只是x,y 的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。
平面流动中，平面上的等势线与流线正交。
6-19 试写出沿y 方向流动的均匀流(V=Vy=C=V ∞)的速度势函数φ，流函数ψ.解：因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ=0Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=V ∞ d φ=x ∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=0dx+ V ∞dy φ= V ∞y d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=- V ∞dx =ψ- V ∞x 6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y ；Vy=-y-4x 试证：（1）该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势的，求φ, (3)求ψ，解：（1）由于 =∂∂+∂∂yVy x Vx 1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在 (2）由于ωz =21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=0, 故流动有势, 势函数φ存在. 3）因 Vx= yx ∂∂=∂∂ψφ=x-4y Vy=y ∂∂φ=-x∂∂ψ=-y-4x d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy φ= ⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (x-4y) dx+(-y-4x)dy =xy y x 4222-- d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy ψ= ⎰d ψ=⎰x ∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰(y+4x)dx+(x-4y)dy =xy+2(x 2-y 2)6-21 已知平面流动流函数ψ=arctg xy ，试确定该流动的势函数φ. 解：因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ=22y x x +Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=22yx y + d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=22y x x +dx+22y x y +dy φ= ⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ 22y x x +dx+22y x y +dy =22ln y x +6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x 2+x-y 2, (Ⅱ)ψ=2xy+y.证明:对 (Ⅰ)φ=x 2+x-y2 Vx= x∂∂φ=2x+1 Vy=y∂∂φ=-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+yVx y∂∂=ψ=2x+1 Vy=-x∂∂ψ=-2y 可见φ与ψ代表同一流动.6-23 已知两个点源布置在x 轴上相距为a 的两点，第一个强度为2q 的点源在原点，第二个强度为q 的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q >0）。