高斯的故事
高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们 出了一道 题：计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间， 所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师， 我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上 写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓 励他，老师买了一本数学书送给他。
n(a1 an ) (1) 2
思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？
Sn
na1
n(n 1) 2
d (2)
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1 2
an )
an a1(n1)d
Sn
na1
n（n 1) 2
d
分析公式的结构特征
举例
例:等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？
解得
a 4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
4、S K，S2K
S K，S3K
S2 K，S4 K
S3
，
K
也成等差数列
作业
P.52 练习1、2、3
S14
2
735.
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
3、 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它 们的比是3：4：5.
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(a d)2 a2 (a d)2
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
10n n(n 1) 4 54 2
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去）. 因此，等差数列的前9项和是54.
1.an＝？ an = 4n-14 2. Sn呢？ Sn = 2n2-12n
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
问题2
• 如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层 的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多 少根圆木？请用简便的方法计算.
数列前n 项和的意义
数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，… 我们把 a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn
Sn的深入认识
an an = 4n-14
Sn = 2n2-12n Sn
O
6n
O
n
课外探索
1、已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？
2、 求集合 M m | m 7n, n N,且m 100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的元素个数，并求这些元素的和.
思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出 它的值呢？
问题1
1.计算：1 2 3 99 100 100 ＋99＋98＋ …＋2 ＋1
1 2 3 99 100 100 (1100) 5050 2
2.计算：
1 2 3 (n 1) n n＋(n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
公式的推导
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]
∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
此种求 和法称 为倒序 相加法
=n(a1+an) n个
Sn
解：7n 100 n 100 14 2
7
7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得
7,27, 37, 47, , 147,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14 14 (7 98)
Sn
n（a1 2
an )
P43，例1
思考：对于等差数列的相关量a1,an,d,n,sn,已 知几个就可以确定其他的量？
知三求二 练习：P45，1
利用sn 求an
练习：P45，2，3
作业：P46，1（1）（3），2（1）（4），4 选做： P46，6 做在课本上：P46的其他题 课后证明：若sn是等差数列{an}的前n项和，求证： sk,s2k-sk,s3k-s2k也成等差数列。