6
2
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15=
5 6
+(15-1)d=
3 2
, ∴d=
1 6
.
又Sn=na1+n
n 2
1· d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
（2）由已知，得S8=8a12a88解42得a8a8,=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
∴a1=-5，d=a
6
5
a=1 3.∴a8=a1+（8-1）d=16.
知识点：等差数列前n项和的性质的应用
(1)项数（下标）的“等和”性质：
Sn= n（ a1an） n（ amanm 1 ）
2
2
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；
【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d,
∵a6=10，S5=5，
∴
5a1a
5d解 1得0 ，
1 10d 5
∴a ad81=a365+, 2d=16.
方法二：设公差为d,
∵S6=S5+a6=15，∴15（6=a
1
2
a
6），即3（a1+10）=15.
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x10110,0x=5050.
高斯
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和。
问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
即 Sn=n(a1+an)/2
即前n项的和与首项末项及项数有 关
若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
因为 an= a1+（n-1）d 所以 Sn=na1+n (n-1)d/2
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn n1 an(n21)d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式 5 个 共 a 1 量 ,涉 d ,n ,a n ： ,S 及 n .已 到 知 3 个 其 可 2 个
正所谓：知三求二
等差数列前n项和公式补充知识
【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ；
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
【例1】已知等差数列{an}.
(1)a1= 5 , a15= 3 , Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1), S n(n 1)
2
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
有无简单的方法？
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(121)21 2
21
1
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1)
根据等差数列前n项和公式： sn=na1+
d 2
有 -10n+n (n-1)?4 54成 立 2
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和 是54.
等差数列前n项和公式
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有:
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。
②{an}为等差数列 Sn=an2+bn，这是一个关于 n 的 没有 常数项 的差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数 .
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。