22 a11 a12 22 a1 a22 S 22 2 2 = = 22 b11 b12 22 b1 b22 T22 2 2
=
7 22 1 31 = = . 22 3 5 31 答案: 5
解本题的关键是什么?应用了什 么基本思想?（解题关键根据等差数列的性质化
n 1
n(n-1)d,在具体应用时,应
采取哪种形式运算比较合理? (在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
n( a1 an ) 项 a ,用公式 S = 2
n n n 1
较好,若已知首项 a1
n n 1 及公差 d,用公式 S =na + d 较好) 2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量 a1,an,n,d,Sn 之间的关系? (由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和 前 n 项和公式
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、 公差 以及项数.
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 * 列的项 n=2k(k∈N ),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
解:法一
*
设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为
2k(k∈N ), 由已知得
S奇 24 S偶 30， ………………………2 分 21 a2 k a1 , 2
S偶 S奇 6, 21 …………………………4 分 a2 k a1 ， 2 kd 6, 21 ………………………6 分 2k 1 d ， 2
1099 110 109 11 =110× + × 2 100 50
1099 109 11 =110 =-110. 100
故此数列的前 110 项之和为-110. 法二 数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差 数列, 设其公差为 d,前 10 项和
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该 数列的前 9 项和 S9 等于( C ) (A)18 (B)27 (C)36 (D)45 (2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+… +a17= .
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
9(a1 a9 ) 9 8 ∴S = = =36.故选 C. 2 2
n n 1 m na1 d, 2 (2)由已知得 n ma m m 1 d , 1 2
m n 1 两式相减得 a + d=-1. 2 n(n 1) 再由 S =na + d 可得 2
1 n 1
Sm+n=(m+n)a1+
m n m n 1
n n 1
10 9 10a1 d 100 ① 2 由已知得 100a 100 99 d 10 ② 1 2
11 ①×10-②,整理得 d=, 50 1099 代入①,得 a = . 100 110 109 ∴S =110a + d 2
1 110 1
k 4, 解得 3 …………………………8 分 d ， 2
因为 S2k
1 =2ka + 2
1
×2k(2k-1)d=8a1+42.
所以 8a1+42=54…………………………10 分
3 故a= 2
1
,
3 所以数列的首项是 2
3 ,公差是 2
,
项数是 8.………12 分
法二
2a11 2a12 a11 a12 = = 2b11 2b12 b11 b12 a11 a12 (2)求 b11 b12
）
的值需转化为什么量? （转
S 22 化为求 的值） T22
a2 a5 a17 a22 解析: b8 b10 b12 b16
a2 a22 a5 a17 a11 a12 = = b8 b16 b10 b12 b11 b12
n(n 1) d. S = na1 2
n
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
S n a1 a2 an S n an an 1 a1
3 所以此数列首项为 2 3 ,公差为 2
,
项数为 8.…………………………………12 分
跟踪训练 2-1:一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和. 解:法一 设等差数列{an}的首项为 a1,公差
n(n 1) 为 d,前 n 项和为 S ,则 S =na + d. 2
设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N ),
*
根据题意,得
1 2 k a1 a2 k 1 24, S奇 24 1 即 S偶 30， k a2 a2 k 30, ……6 分 2 21 a2 k a1 , 21 2 2k 1 d 2 ,
2
d
m n 1 =(m+n)(a + d)=-(m+n). 2
1
a1 2 n 1 11, (3)由已知得 na n n 1 35, 1
a1 3, a1 1, 解得 或 n 5 n 7.
等差数列前 n 项和性质的 应用
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
n( a1 an ) 为 d,第 n 项为 a ,则前 n 项和 S = , 2
n n
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
1 n( a1 an ) S= =na + 2 2
n 1
n(n-1)d,可以看
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知 其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 2 等差数列,公差为 n d)
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N ,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
*
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32) ∴604.5= ,解得 n=26. 2
k a1 k 1 d 24, k a1 kd 30, ……………………8 分 即 21 2k 1 d , 2
3 a , 1 2 3 解得 d , ………………………10 分 2 k 4.
两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
n( a1 an ) +(a +a )=n(a +a ),故 S = .这是一 2
n 1 1 n n
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
1 n( a1 an ) S= =na + 2 2
n n
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
=
.
a2 a5 a17 a22 名师导引:(1) b8 b10 b12 b16
化简吗? （
能进一步
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
=
a2 a22 a5 a17 b8 b16 b10 b12
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
思想）
S 22 为 ;体现了转化与化归 T22
跟踪训练 3-1:(2013 即墨实验高中质检)两等差数 列{an}和{bn},前 n 项和分别为 Sn,Tn,且
S n 5n 2 a2 a20 = ,则 Tn 4n 1 b7 b15
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项 和公式及性质
【课标要求】
1.通过实例了解等差数列前 n 项和公式的推导 过程. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、 高产、 创造力不衰、 数学王子等称赞高斯是 “人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.