第十一章 习题课一、判断题（每题3分）1.设区域Ω是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在Ω内具有一阶连续偏导，若在Ω内存在函数(),u x y ，使得du Pdx Qdy =+，则曲线积分L Pdx Qdy +⎰在Ω内与路径无关的. （ ）2.设区域G 是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：在G 内存在函数(),u x y ，使得du Pdx Qdy =+.（ ）3.函数),(),,(y x Q y x P 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 dy y x Q dx Ly x P ),(),(+⎰在G 内与路径无关⇔xy P ∂∂=∂∂Q在G内恒成立（ )4.设L 为xoy 平面内直线x a =上的一段，则(,)0LP x y dx =⎰.（ ）5.设L 为圆周221x y +=按逆时针转一周,则0Lxdy ydx +=⎰ .( )6．若c 为221xy +=正向一周，则220cxdx ydyx y+=+⎰. （ ）7．设L 是任意一条光滑的闭曲线，则220Lxydx x dy +=⎰. （ ）8.若C 是以()()0,0,1,1O A 为端点的直线段，则曲线积分()0Cy x dx -=⎰.（ ）二、选择题（每题3分）1. L 为圆周221x y +=，计算对弧长的曲线积分22x y Leds +=⎰（ C ）.（A ）0 （B ）e π （C ）2e π （D ）3e π2.设L 是抛物线2x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧，则对弧长的曲线积分(,)L P x y ds =⎰（ C ）（A ）⎰402),(dx x x P ; （B ）⎰202),(dx x x P ;（C ）⎰+202241),(dx x x x P ; （D ）⎰022),(dx x x P . 3. 设积分弧段L 为圆周229x y +=的上半圆，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰（ C ）. （A ）3π （B ）6π （C ）27π （D ）54π4. 若C 为221x y +=正向一周，则22cx y ds +=⎰（ C ）.（A ）0 （B ）π （C ）2π （D ）3π 5. 设C 为椭圆22154x y +=，其周长为a则有22(45)Cx y ds +=⎰（ D ）. （A ）0 （B ）5a （C ）15a （D ）20a 6.若L 为xoy 平面内直线x a =上从点(,1)a 到(,3)a 的一段弧，则Lxydx =⎰（ C ）.（A ）2a （B ）3a （C ）0 (D) 27.设L 是抛物线2x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧，则对坐标的曲线积分=⎰dx y x P L ),(（ B ） （A ）⎰42),(dx x x P ; （B ）⎰22),(dx x x P ;（C ）⎰+202241),(dx x x x P ; （D ）⎰22),(dx x x P .8.平面区域D 的边界曲线为L ，下列曲线积分中，表示区域D 的面积的积分是（ A ）.（A ）12Lxdy ydx -⎰;（B ）12Lydx xdy -⎰;（C ）Lxdy ydx -⎰;（D ）Lydx xdy -⎰.9.设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则LPdx Qdy +=⎰( D ).（A)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Qy P )(（B)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Py Q )(（C) ⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )( （D)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Px Q )(10、下列曲线积分与路径无关的是（ C ）. （A ）()()2531Lx y dx y x dy -+++⎰;（B ）()()2cos 2sin 12sin Lx y x xy x dx y x dy ++-⎰;（C ）4sin sin3cos 3cos3cos2L x y xdx y xdy -⎰;（D ）()()222sin Lx y dx x y dy --+⎰. 11.下列表达式中肯定不是某个二元函数的全微分的是（ C ）（A ）xdy ydx +; （B ）ydy xdx +; （C ）xdy ydx - ; （D ）ydy xdx -.12.若曲面∑：2222a z y x =++，则S d z y x ⎰⎰++∑)(222＝ （ C ）（A ）4a p ; （B ）42a p ;（C ）44a p ; （D ）46a p .13. 如果∑代表球面,1222=++z y x 则dS z y x ⎰⎰∑++222=（ D ）（A ）π2； ； （B ）π34； （C ）π3; （D ）π4.14. 设曲面∑为()22210x y z z ++≥=，则dS ∑=⎰⎰（ D ）.（A ）43π； （B ）23π； （C ） 4π； （D ） 2π.15.设∑为球面2222a z y x =++在h z ≥部分,0h a <<,则zdS ∑=⎰⎰（ D ）（A）2220a h d πθ-⎰⎰;（B）20d πθ⎰;（C）20d ardr πθ⎰;（D）20d ardrπθ⎰16.设曲面∑是上半球面：)0(2222≥=++z R z y x ，曲面1∑是曲面∑在第一卦限的部分，则有（ C ） （A ）14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰; （B ）14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰;（C ）14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰; （D ）14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰.17.设曲面积分()()22xy dxdy y z xdydz ∑-+-⎰⎰沿空间闭区域Ω的整个边界曲面∑的外侧进行，使用高斯公式对其变形后应为（ A ）. （A ）()y z dxdydz Ω-⎰⎰⎰;（B ）()1x dxdydz Ω+⎰⎰⎰;（C ）()2x y z dxdydz Ω+-⎰⎰⎰;（D ）()2x y dxdydz Ω-⎰⎰⎰.三、解答题（每题8分） 1计算曲线积分Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.解：Lydx xdy +⎰=()20sin sin cos cos R t R t R t R t dt π⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦⎰=22cos 20R tdt π=⎰2．计算曲线积分Lydx xdy +⎰，其中L是为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到4π的一段弧.解：Lydx xdy+⎰()224400sin sin cos cos cos22R R t R t R t R t dt R tdt ππ=⋅-+⋅==⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 3.计算曲线积分()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是从点（1,1）到（4,2）的直线段.解：L 的方程为211(1)41y x --=--，即32x y =-， y 从1变到2.化为对y 的定积分计算，有原式=21[(32)3(32)1]y y y y dy -+⋅+-+⋅⎰=21(104)11y dy -=⎰.4.计算3223x dx zy dy x ydz Γ+-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB .解：直线段AB 的方程是321x y z==化为参数方程得3,2,,x t y t z t ===t 从1变到0.所以3223x dx zy dy x ydz Γ+-⎰03221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt =⋅+⋅-⋅⎰03187874t dt ==-⎰5．计算曲线积分Lxdy ydx -⎰，其中L 为单位圆221x y +=，积分沿逆时针方向 解：2212.LI xdy ydx ππ=-=⋅⋅=⎰6.求曲线积分⎰-+++-L dy x y dx y x )635()42(，其中：L 为三顶点分别为)2,3(),0,3(),0,0(B A O 的三角形的正向边界.解：(,)24,(,)536P x y x y Q x y y x =-+=+-4Q Px y ∂∂-=∂∂由格林公式，得(24)(536)412LDx y dx y x dy dxdy -+++-==⎰⎰⎰7. 计算曲线积分⎰+++=Ldy y x dx y x I 222)()(，其中L 是以点)4,2(),1,2(),0,0(B A O 为顶点的三角形的正向.解：222(,),(,)()P x y x y Q x y x y =+=+2Q Px x y ∂∂-=∂∂记以点(0,0),(2,1),O AB 为顶点的三角形所围的区域为1:02,22D x x y x≤≤≤≤22222102()()22x LxDx y dx x y dy xdxdy dx xdy +++==⎰⎰⎰⎰⎰[]2222102238x x xy dx x dx ===⎰⎰8.利用格林公式计算22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰其中L 是圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：2(,)P x y x y =-2(,)(sin )Q x y x y =-+1Q P x y ∂∂=-=∂∂故曲线与路径无关22()(sin )Lx y dx x y dy--+⎰112200sin 27(1sin )46x dx y dy =-+=-⎰⎰ 9．设()x f 连续可导，且()210-=f ，求()x f ，使得积分()()Bx Ae f x ydx f x dy -⎡⎤+-⎣⎦⎰ 与路径无关，并求当(0,0),(1,1)A B ==时的积分值. 提示:利用Q Px y ∂∂=∂∂.解：(,)()(,)()x P x y e f x yQ x y f x -⎡⎤=+=-⎣⎦由Q P x y ∂∂=∂∂，得'()()xf x e f x --=+，即'()()x f x f x e -+=-()()()xxf x e C dx e C x --=-=-⎰又因()102f =-所以12C =-. 故1()()2xf x e x -=-+(1,1)110(0,0)1133()()2222xx e x ydx x e dy e dy e ----++==⎰⎰10.设G 为一不含原点的区域，L 为G 中的任意一曲线，证明：积分Lcos sin x x e ydx e ydy -⎰与积分路径无关.证明：cos , sin x x P e y Q e y ==-sin x P Qe y y x∂∂==-∂∂ 故原积分与路径L 无关.11.设G 为一不含原点的区域，L 为G 中的任意一曲线，证明：积分Ldx +⎰与积分路径无关.证明：P Q == 33222222(), ()P Qxy x y xy x y y x--∂∂=-+=-+∂∂ 设G 为一不含原点的区域，则原线积分在G 中与路径无关.L 为不过原点的任意一曲线，则L G ∈, 故原积分与路径L 无关. 12．L 为G 中的任意一曲线，证明： 积分2222(2)(2)Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰与积分路径无关. 证明：22222, 2P x xy y Q x xy y =+-=--22=P Q x y y x ∂∂=-∂∂故原积分与路径L 无关.13. 已知曲线积分ydy x f ydx e x f Lxcos )(sin ])([+-⎰与路径无关，其中)(x f 一阶连续可导且e f =)1(，求)(x f . 解：(,)[()]sin ,(,)()cos x P x y f x e y Q x y f x y=-=由Q Px y ∂∂=∂∂，得''[()]cos ()cos ()()x xf x e y f x y f x f x e -=⇒-=-()()dxdxx x x f x e C e e dx Ce xe -⎰⎰⇒=+-=-⎰又因(1)f e =所以2C =故()(2)xf x e x =-14.设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关, 求)(x f .解：2(,)[2()],(,)()xP x y f x e y Q x y f x =+= 由Q P x y∂∂=∂∂，得2()2()x f x f x e '=+2222()()()dxdxx x f x e C e e dx e C x -⎰⎰⇒=+=+⎰又因(0)1f =所以1C =, 故2()(1)xf x e x =+15.已知曲线积分[()]sin ()cos xLf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，其中)(x f 一阶连续可导且0)0(=f ，求)(x f 解 ：(,)[()]sin x P x y f x e y =-，(,)()cos Q x y f x y =-，由Q Px y ∂∂=∂∂，得''[()]cos ()cos ()()x xf x e y f x y f x f x e -=-⇒+=1()()2dxdx x x x f x e C e e dx Ce e --⎰⎰⇒=+=+⎰ 又因(0)0f =所以12C =-故()2x xe ef x --=16.计算曲线积分L xdx ydy +⎰，其中L 是从点()0,0到()1,1的直线段. 解： :(:01)L y x x =→121Lxdx ydy xdx +==⎰⎰17.验证：()21ydx xdy y -在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个(),u x y .证明:2211,,,x Q PP Q y y x y y∂∂==-=-=∂∂ ()21ydx xdy y -是全微分； (),xu x y y =.18.验证：()()22x y dx x y dy +++在整个xOy 平面内是某一函数 (),u x y 的全微分，并求这样的一个(),u x y .证明：2,2,2,Q P P x y Q x y x y∂∂=+=+==∂∂()()22x y dx x y dy+++是全微分；()()()()()(),220,000,2222.22x y yx x y u x y x y dx x y dy xdx x y dy xy =+++=++=++⎰⎰⎰19.验证：()222xydx x y dy ++在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个(),u x y . 证明:22,2,2,2,P QP xy Q x y x x y x∂∂==+==∂∂()222xydx x y dy ++是全微分；()()()(),2220,0,22x y u x y xydx x y dy x y y =++=+⎰20.验证：在整个xoy 平面内，22xy dx x ydy +是某个函数(),u x y 的全微分，并求出一个这样的函数(),u x y .证明：()()2222222211222x y xy dx x ydy y d x x d y d ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭()221,2u x y x y =21.计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是平面0,0,0,x y z ===,,x a y a z a ===所围成的立方体的表面的外侧.解：()26VI x y z dv zdv Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=4063aa adx dy zdz a =⎰⎰⎰22.利用高斯公式求曲面积分⎰⎰∑++=dxdy z dzdx xz xdydz I 22，其中∑是由抛物面22y x z +=和平面1=z 所围成的区域的边界曲面的外侧. 解:22I xdydz xz dzdx z dxdy∑=++⎰⎰10(12)(12)zD z dxdydz z dz dxdy Ω=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰112(12)(2)z zdz z z dz ππ=+⋅=+⎰⎰76π=23.利用高斯公式计算()()y z xdydz x y dxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体221x y +≤的整个表面的外侧.解: (),0,P y z x Q R x y =-==-()()()P Q R y z xdydz x y dxdy dxdydz x y z∑Ω∂∂∂-+-=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰2130009()(sin )2y z dxdydz d d z dz ππθρρθρΩ=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰24.利用高斯公式计算yzdydx dzdx y xzdydz +-⎰⎰∑24其中∑是平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ======所围成的立方体的全表面的外侧. 解：24,,P xz Q y R yz ==-= 4,2,P Q Rz y y x y z∂∂∂==-=∂∂∂ 由高斯公式得24xzdydz y dzdx yzdydx ∑-+⎰⎰ (4)z y dxdydz Ω=-⎰⎰⎰1111112000000(4)2dx dy z y dz dx z yz dy ⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 12110003(2)222y dx y dy y ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰25.利用高斯公式计算xdydz ydzdx zdydx ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222az y x=++的外侧.解 ：3343343Vxdydz ydzdx zdydx dV a a ππ∑++==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰26.利用高斯公式计算曲面积分2,I ydydz xdzdx z dxdy ∑=-+⎰⎰ 其中∑是锥面z =介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.解：补平面221:z 3,(9)x y ∑=+≤取上侧 1I ∑Ω∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2zdv 9xyD dxdy Ω=-⎰⎰⎰⎰⎰3302z d 81z ππ=-⎰812π=-27.利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是由圆柱面222(0)x y a a +=>、平面0z =和3z =所围成立体的表面的外侧. 解： 由高斯公式知239xdydz ydzdx zdxdy dxdydz a π∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰ 28.计算曲面积分()()()222y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰,其中∑为锥面z =()01z ≤≤的表面下侧.提示:使用高斯公式.解：补平面 221:0(1)z x y ∑=+≤ 取上侧 1+00VI dV ∑==⎰⎰⎰⎰⎰上()22121x y I xy dxdy∑+≤-⎰⎰⎰⎰上＝－＝－2212222001114cos 42244x y x dxdy d r rdr πππθθ+≤=-=-=-⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰29.计算曲面积分24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑是平面0,0,0,x y z ===1, 1.1x y z ===所围成的立方体的全表面的外侧.解：()43VVI z y dxdydz zdxdydz =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝111000332dx dy zdz =⎰⎰⎰30.利用高斯公式计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰， 其中∑为平面0,0,0,,,x y z x a y a z a ======所围成的立体的表面的外侧.解：()2226VVI x y z dxdydz zdxdydz=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰44000663.2a a aa dx dy zdz a ==⋅=⎰⎰⎰。