江苏省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（3） 函数与导数一、填空题:11．（江苏省苏锡常镇四市2013年3月高三教学情况调研—）在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，函数x y e =的图像与y 轴的交点为B ，P 为函数x y e =图像上的任意一点，则OP AB 的最小值 ▲ ．【答案】1 13．（江苏省苏锡常镇四市2013年3月高三教学情况调研—）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则55(2)(2)22f f -++--= ▲ ． 【答案】84. （江苏省南通市2013届高三第二次调研）设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x < 0时，f (x )＝x + e x （e 为自然对数的底数），则()ln6f 的值为 ▲ ．【答案】1ln 66-10. （江苏省南通市2013届高三第二次调研）函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为 ▲ ． 【答案】 413. （江苏省南通市2013届高三第二次调研）设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是▲ ． 【答案】912. (江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)当0< x ≤31时，不等式8x<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(33，1) 13. (江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋ax，若x < 0时恒有f (x )≥3，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞，-2]1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .37[log ,1]36、（苏州市2013届高三期末）某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为 ．（保留一位小数，取51.1 1.6≈）6.6 7、（泰州市2013届高三期末）设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(a)>f(b), 则f(-a) f(-b)(填“>”或：“<”) ＜8、（无锡市2013届高三期末）13．定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M →M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'经过的路线的长度为 。

12、（泰州市2013届高三期末）已知f(x)= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=，则12()()f x f x 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 13、（扬州市2013届高三期末）如图所示：矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)f x x x x=+>的图像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ▲ ． 答案：216二、解答题:⒚（江苏省盐城市2013年3月高三第二次模拟）（本小题满分16分）设函数b ax x x f n n ++-=3)(（*N n ∈，R b a ∈,）。

⑴若1==b a ，求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值；⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ，都有1)()(2313≤-x f x f ，求a 的取值范围； ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为21，求b a ,的值。

17．（江苏省南通市2013届高三第二次调研）（本小题满分14分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx +800)元(其中k 为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用＝购地费用+所有建筑费用所有建筑面积)．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18. （江苏省南通市2013届高三第二次调研）（本小题满分16分）已知函数f (x )＝(m －3)x 3+ 9x .（1）若函数f (x )在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f (x )在区间［1，2］上的最大值为4，求m 的值．【解】（1）因为f '(0)＝9 > 0，所以f (x )在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数……3分由f '(x )＝3(m －3)x 2+ 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，+∞) ． ……………………………………………6分 （2）当m ≥3时，f (x )在［1，2］上是增函数，所以[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4,解得m ＝54<3，不合题意，舍去． …………………………8分当m ＜3时，f '(x )＝3(m －3) x 2+ 9=0，得33x m=-．所以 f (x )的单调区间为：(33m -∞-，单调减，(3333m m---，单调增，)33m+∞-，单调减．…………………10分23．（江苏省南通市2013届高三第二次调研）必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设b >0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x 取得极小值2． （1）求函数()F x 的单调增区间；（2）证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．【解】（1）由题()11111()()2(1)002F x f x ax a ax x b ab b bx b x '==⋅+⋅-+=+>>，，．于是()211()F'x a b x =-，若0a <，则()0F'x <，与()F x 有极小值矛盾，所以0a >．令()0F'x =，并考虑到0x >，知仅当1x a=时，()F x 取得极小值．所以111(1)2a a b=⎪+=⎩，，解得1a b ==．………………………………………………4分故1()(0)F x x x x=+>，由()0F x '>，得1x >，所以()F x 的单调增区间为(1)+∞，．18．(江苏省扬州市2013年3月高三第二次调研)（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．（第17题甲） DC BQPNMR S MN PQT（第17题乙）AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA=θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ．若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， 函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为33km 2）．19．(江苏省扬州市2013年3月高三第二次调研)（本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y=f(x)的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y)，当实数λ满足x=λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y=f(x)在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f(x)=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541）令11()ln (e )ee m m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，，于是111()e e m mh x x +'=--， 列表如下：x e m(e m ，e m+1－e m)e m+1－e m(e m+1－e m ，e m+1)e m+1()h'x + 0 － ()h x0 增1(e e )m m h +-减0 则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值，又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立．17．(江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)（本题满分15分）某超市在开业30天内日接待顾客人数(万人)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝1＋4t，顾客人均消费额(元)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝84－|t －20|．(Ⅰ)求该超市日销售额y (万元)与时间t (天)的函数关系式； (Ⅱ)求该超市日销售额的最小值．17．解：(Ⅰ)由题日销售额 y ＝f (t )•g (t )＝(1＋4t)(84－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(1＋4t )(t ＋64)，1≤t ≤20(1＋4t )(60－t )，20＜t ≤30，t ∈N *-----------5分(Ⅱ)①当1≤t ≤20且t ∈N *时，y ＝t ＋256t＋68≥2t •256t＋68＝100，当且仅当t ＝256t即t ＝16时取等号；-----------9分②当20＜t ≤30且t ∈N *时，y ＝ 240t－t ＋56在区间(20，30]上递减，∴t ＝30时，y min ＝34． ----------13分∵100＞34，∴综上，第30天该超市日销售额最小，最小值为34万元．----------15分 20．(江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)（本题满分16分）设函数f (x )＝－a 2x 2＋(a ＋1)x －lnx (a ∈R )． (Ⅰ)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(Ⅱ)当a ＞0时，讨论函数f (x )的单调性； (Ⅲ)若对任意a ∈(2，3)及任意x 1，x 2∈[1，2]，恒有a 2－12m ＋ln 2＞|f (x 1)－ f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围.(Ⅲ)由(Ⅱ) a ∈(2，3)时， f (x )在区间[1，2]上递减，由条件a 2－12m ＋ln2＞|f (x 1)－ f (x 2)|max ＝f (1)－ f (2)＝a 2－1＋ln2对任意a ∈(2，3)成立，∴a 2－12m ＞a 2 －1对任意a ∈(2，3)成立．⇒ m ＞a －2a 2－1对任意a ∈(2，3)成立． 由g (a )＝a －2a 2－1，∵g ′(a )＝－(a －2)2＋3(a 2－1)2＞0对a ∈(2，3)恒成立，g (a )在a ∈(2，3)上递增，∴ g (a )＜g (3)＝18，∴ m ≥18 ． ----------16分5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x 2不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x ≥0. 所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立， 令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x 2x，由g ´(x )>0得x <4， ∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立,∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a ++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a h b b≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分 综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ A BC D （第17题） B ' P9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x（1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数，（1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度（3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件 ○3当a <b 时 x 1=32b a +,x 2=b 。