专题：相似三角形的几种基本模型
(1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型"的相似三角形。

“A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型
（2)如图：其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形。

A
B
C
D E
1
2A
A
B
B
C
C D
D E
E
124
1
2
（3） “母子" （双垂直)型 射影定理:
由_____________ ，得____________ __,即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。

“母子” （双垂直）型 “旋转型”
(4)如图：∠1=∠2,∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

（5）一线“三等角”型
“K ” 字（三垂直）型
(6）“半角”型
图1 ：△ABC 是等腰直角三角形,∠MAN=
1
2
∠BAC ，结论：△A BN ∽△MAN ∽△MCA ； A
B
E
A
D
C
A
B C
D
E
A
A
C
C
D
E
E B E
A C
D
12
A B C D 图2
图1
旋转
N M
60°
120°
E D
C
A 45°
E
D
C B A
图2 ：△ADE 是等边三角形， ∠DAE=
1
2
∠BAC ，结论：△A BD ∽△CAE ∽△CBA; 应用
1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 （ ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 （ ） A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD
D ．不存在
图3 图4 图5
3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点， DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有（ )对.
A.4 对 B 。

5对 C.6对 D 。

7对
4．如图6，在△ABC 中，D ,E 分别是AB ,AC 上的点,在下列条件下：①∠AED ＝∠B ;②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC 。

能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7,在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ；
③错误!＝错误!。

其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
6．如图8，添加一个条件:_____________________________，使得△ADE ∽△ACB 。

（写出一个即可） 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°,点E 在BC 边上，AB =3,CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD
相似,则CE =___________．
图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ,则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( )
A ．∠BAD ＝∠CAE
B ．∠B ＝∠D C.错误!＝错误!
D 。

错误!＝错误!
9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝错误!CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°,②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF 。

其中正确的个数为 个。

图10 图11
A
B
F
C
D
E
G A
B
C
D
E
A E
F
10.如图12,在Rt △ABC 中，∠ACB 90°，CD ⊥AB 于点D ，BD 2，AD 8，则CD ______,AC ______，
BC ______．
11．如图13，在平面直角坐标系中，直线1
=
+22
y x 与x 轴,y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD ，使AD =5．则点C 的坐标为_______，点D 的坐标为_______．
图12 图13 图14 图15
12．如图14，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上,连接OB ，将
纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ′的位置上．若OB =5，
1
2
BC OC =，则点A ′的坐标为________． 13．如图15,在边长为 9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则 AE 的长为_____． 14．四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . （1）求证：△EDM ∽△FBM ；
（2）若DB ＝9,求BM 。

15．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE 。

16。

如图，在△ABC 中，D ,E 分别是BC ,AC 的中点,AD ，BE 交于点F ．求证：
1
2
DF AF =．
A'
A
B
C
y x
O
O
x
y
D
C
B
A
C
D
B
A
17．如图所示,Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C）,过点D 作∠ADE＝45°，DE交AC于点E。

（1)求证：△ABD∽△DCE；
（2)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
18．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动，问:
（1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的错误!？
(2)是否存在时刻t，使以A，M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在，请说明理由．。