三角形相似模型知识框架相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E AB CD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．例题精讲一、沙漏模型【例 1】 四边形ABCD 被AC 和DB 分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？【考点】沙漏模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为AE:CE=BE:DE=1:2，所以AD BC ，即ABCD 为梯形，并且三角形AED 与三角形BEC相似。
因此:::1:2:2:4∆∆∆∆=AED AEB CED CEB S S S S 。
故():()(22):(41)4:5S S S S ++=++=乙甲丙丁【答案】54。
【巩固】 梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。
则整个梯形的面积为多少？【考点】沙漏模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 同上题，△AOD 与△BOC 形状相同，大小成比例，这个比例为：AD ：BC ＝1：3，所以它们的面积比为1：9。
而△AOB 的面积则是二者之间的过渡量，即比例中的3份。
把△AOB 的面积看成3份，那么1份是：12÷3＝4（平方厘米）。
这样△AOD 、△BOC 和△COD 的面积分别是1份、9份、3份；梯形ABCD 的面积为：4×（3＋1＋9＋3）＝64（平方厘米）。
【答案】64平方厘米。
【例 2】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的长度是多少? 【考点】沙漏模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一：因为有CB 平行与DA 。
有EB FB EA DA =,有4102416EB FB DA EA =⨯=⨯=+,所以CF=CB-FB=10-2=8．方法二：如上图所示，连接DB ，CE ．有DC ：BE=4:l 所以．△DFC 与△FBE 的面积比为16:1，有DCF FBE DBF CEF S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,又DFB CFE S S ∆∆=所以△DCF ，△FBE ，△DBF ，△CEF 的面积为16:1:4:1，即:16:44:1DCF DFB S S ∆∆==，有△DCF ，△DFB 同高,面积比为底的比，即CF ：BF=4:l ，而CF ，BF 的长度和为10，有4841FC BC =⨯=+ 【答案】8。
【巩固】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且DE ：EC=1:3，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S ∆.【考点】沙漏模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==,因此4CM =,据题意有CE=3，再据沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，所以()4432442471111ABG ABE S S ∆∆==⨯⨯÷=+.法二：连接AE 、AF ，4224ABF S ∆=⨯÷=,4441232247AEF S ∆=⨯-⨯÷-⨯÷-=，所以()4432442471111ABG ABE S S ∆∆==⨯⨯÷=+. 【答案】3211。
【例 3】 如图ABCD 是梯形，BD 是对角线，E 为BD 上一点，EF 是三角形AED 的高，EG 是三角形BCE的高。
如果三角形ABE 和三角形BCE 的面积分别为6和10平方厘米，EF ：EG=7:4,那么求梯形ABCD 的面积。
G EFABCDO【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为三角形BEG 与三角形DEF 相似，所以BE ︰ED=GE ︰EF=4︰7。
所以三角形AED 的面积=6÷4×7=10.5（平方厘米）所以三角形CED 的面积=10÷4×7=17.5(平方厘米)所以梯形ABCD 的面积=6+10.5+10+17.5=44(平方厘米)【答案】44平方厘米。
【巩固】 如图，△ABC 中AE=14AB ，AD=14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米。
那么△AED 的面积是平方厘米。
ODECB A【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AE=14AB ，AD=14AC ，ED 与BC 平行，所以ED ︰BC=1︰4,EO ︰OC=1︰4，S △ABC =4S △EOD =4；则S △CDE =4+1=5；又因为S △AED ︰S △CDE =AD ︰DC=1︰3,所以S △AED =5×13=53（平方厘米）。
【答案】53。
【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的面积是12，AD DE 31=，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是________；【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 利用沙漏定理，AE/BC=AF/CF=2/3，三角形ACD 面积是12/2=6，连接CE ，三角形CED 面积是6/3=2，三角形ACE 面积是4，又AF/CF=2/3，所以CEF 面积是4×3/5=2.4，阴影部分面积为2+2.4=4.4 。
【答案】4.4。
【巩固】 长方形ABCD 的面积是12平方厘米，2AF =FD ，2CE =ED ，G 是BC 的中点．阴影部分的面积是________平方厘米；【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BD 、FG 交点为O ，BE 、FG 交点为M.CBFADEMO跟根据沙漏定理得到214:323FD DO BG BO ===，先求出三角形BOG 的面积，明显FBG 面积为 1243=，所以BOG 面积为39377⨯=。
三角形BDE 的面积为2643⨯=,我们只要求出三角形BMO 的面积即可。
连接CM ，设三角形BMG 的面积为1份，CMG 为1份，BMC 为2份，根据燕尾定理，21S DE BDM S EC BMC∆∆== ，所以S BMD∆为4份，又43DO BO =，所以312477S BOM ∆=⨯=份，故127S BMO S BMG ∆∆=,912108719133BMO S ∆=⨯=，阴10825=4-=3133133S 。
【答案】253133。
【例 5】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HGFED C B AHGFED C B A【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)． 【答案】49.5平方厘米。
【巩固】 已知：如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠A=∠B=90º,AD=3,BC=4,S=△AOD =1,求四边形ABCD的面积。
【考点】沙漏模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为AD BC ，所以三角形AOD 与三角形BOC 相似，所以，2222::3:49:16AOD COB S S AD BC ∆∆===所以COB S ∆=169又因为22169AOB COD AOD COB S S S S ∆∆∆∆==⨯= 所以43AOB COD S S ∆∆==故44164913399AOB COD AOD COB S S S S S ∆∆∆∆=+++=+++=ABCD 【答案】499。
二、金字塔模型【例 6】 如图， △ABC 中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【考点】金字塔模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【答案】::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【考点】金字塔模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯= 【答案】10。
【例 7】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【考点】金字塔模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图中有金字塔模型5个，用于已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN AP BC AB =,PH BPAD AB=,设正方形的边长为x 毫米，1PN PH AP BP BC AD AB AB +=+=,即112080x x+=，解答48x =，即正方形的边长为48毫米。