初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏一、比的性质：特征：比的基本性质，合比性质，等比性质 例1：已知,3==d c b a ，则ddc b b a 22+=+=（ ） 例2：如果P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则下列各等式①AB 2=AP •PB ， ②AP 2=PB •AB ，③BP 2=AP •PB ，④AP ／AB=PB ／AP 中，正确的是（ ）例3：已知k cba a cb bc a =+=+=+，则k 的值为（ ） 二、平行A 字型如图（1）DE//BC ，则△ADE ∽△ABC 特征：△ADE ∽△ABC ⇒AD AE DEAB AC BC==应用1：（求线段的长）例1． 如图（2）DE//BC,且DB=AE,若AB=5，AC=10，则AE 的长为（103） 角度：平行产生比例 DE ∥BC 51051010,103AB AC AE BD EC AE EC AE AE ⇒=∴=∴==- PB例2．如图（3）△ABC 中，BC = a 是AB 边的五等分点；1234,,,C C C C 是AC 边的五等分点，则11223344B C B C B C B C +++=（2a ）应用2：（证明比例线段）例3．如图（4），DE//BC//AF ，求证：111DE AF BC=+ 证明：分析：此题用了两个平行A 字型 在△ABC 中，DE//BC ，AD DE⇒= ①在△ABF 中，DE//AF ，DB DEAB AF⇒=② ①+②得AD DB DE DEAB BC AF+=+111()111DE BC AFDE BC AF ∴=+∴=+应用3：（证明线段相等） 例4．如图（5），一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D 、E 、F 。
求证：若AE BFEC CF=，则D 是AB 的中点。
证明：作CM//BA 与EF 交于M ，则△ADE ∽△CME//AD AEAE BF AD BFBD BFCM BD CM ECEC CF CM CFCM CF∴==∴=∴=因此,.AB AD BDAD BD CM CMD ==∴从而是的中点。
例5．如图（6）已知如图，在△ABC 中，∠BCA=090，以直角边AC 为一边向形外正方形ACEF ，连接BF ，交AC 于P ，过P 作PQ//BC ，交AB 于Q,求证：PC=PQ 证明：//ACEF CP EF ∴∴为正方形△BCP ∽△BEF////PC BPPQ BC FA EF BF ∴=∴又△BPQ ∽△BFA BP PQ PC PQ EF FA PC PQ BF FA EF FA∴==∴=∴= 例6．如图（7），在△ABC 中，∠C=090，以边向外作矩形ACDE,BE 于AC 交于F ，FG//CB 交AB 于G ，如果CF=FG ，那么矩形ACDE 具有什么特征？证明：////ACDE CFBF CF DE DE BE FGBFFG AE AEBE CF FG DE AE=∴==∴=∴矩形是正方形例7：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB 的高度为1.2米。
（1）若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板的PQ 中点，狮子能否把公鸡送到吊环上？为 什么？(1)6050403020ABC E D C BA (2)h m 5m 10m 0.9m 的情况下移动支点，当支点A 移到跷跷板PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？平行A 字型的实际问题1。
如图（1）测量小玻璃管口的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份。
如果小管口DE 正好对着量具上30份（DE 平行AB ），那么小管口径DE 的长是--5—毫米。
2。
如图2小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度H 应为2.7米.3、如图4已知BC 是圆O 的直径，线段MN//BC ，A 是MN 上任意一点，AF 与圆O 相切于F ，连结AB 与圆O 相交于Q ，D 是AB 上一点，且AD=AF ，DE ⊥AB 与AC 的延长线交于E 。
（1）求证：CD//BE （2）若MN 与BC 之间的距离为5，BC=4，求证：当点A 变动时，∆ADE 的面积是一个定值 （3）若AF ：AE=1：2，AC ：BC=2：3，求∠BCA 的度数 （1）证明：AF 2=AQ ⨯AB ，AD=AF ，AD 2=AQ ⨯AB ⇒AD AB =AQAD又因为QC//EF ⇒AQ AD =AC AE AD AB =ACAE⇒CD//BE （2）证明：BCD S ∆=DEC ABC S S ∆∆∴=ADE S ∆1452⨯⨯=20所以∆ADE 的面积是一个定值。
（3）AC=2K ，QC=62K ，BC=3K ，COS ∠QCB=623K K=2/2 所以∠BCQ=045，所以∠BCA=075三、平行X 字型如图(1)DE//BC,则△AED ∽△ACB 特征：△ADE ∽△ACB ⇒AE AD DEAC AB BC==应用1：（证明比例线段）例1． 已知，如图（2）一直线与四边形ABCD 的AB 、CD 边交于E 、H ，与AC 交于G,与AD 、CB 的延长线交于P 、F ，求证：GP ·GH=EG ·FG证明：（分析：此题应用两次X 字型）Q 30︒32K 3K2K30︒O F ED C B//,//,PA CF HC AE PG AG AG GE GF GC GC GH PG EG FG GHPG GH EG FG∴==∴=∴= 例2． 如图（3）12O O 与外切于点P ，外公切线AB 切1A O 于点，切2O B 于点，12O O 与的半径分别为r 和R ，求证：22AP rRBP = 证明：Rt △ABC 构成三直角模型2222AP AP APBP AP PC AP PC PC BP⇒=⇒==022222290//AO AP rO AB CBA O A BC AO P PCO PC CO R∠=∠=⇒∴==在和中，22AP r R BP∴= 例3、如图（4）DE 是DE BF ABC F 的中位线；是的中点，的延长线交 AC 于H ，则AH ：HE 等于（B ）A 1 ：1B 2 ：1C 1 ：2D 3 ：2 分析：作DG//AC 交BH于点G ，2111BD DG DF DG DG EH BA AH FE EH ====⇒=， 21EH AH ∴=例4、如图（5），已知点M 是矩形ABCD 的边CD 的中点，连BM 与AC 交于E ，与AD 的延长线交于F ，求证：ME*BF=BE*MF 证明：AF ∥BC ∴MF DM MCFB DC AB==MC ∥AB ∴MC ME AB BE =∴**MF MEME BF BE MF FB BE=∴=例5、如图（6），D 是AC 上一点，F 是CB 延长线上一点，且AD=FB ，连DF 与AB 交于E ，求证：BC*EF=AC*DE 。
证明：[方法一]如图6过D 点作DM ∥CB 与AB 交于MDM ∥CB,∴,DM BC DM DEAD AC BF EF== 又AD=BF,∴**BC DEBC EF AC DE AC EF=∴= [方法二]如图'6，过F 点作FN ∥ACDAE交AB 的延长线于N,FN ∥AC∴,,,,**BF BC AD DEBC DEAD BF BC EF AC DE FN AC FN EFAC EF===∴=∴=例6、如图：在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于O ，则S △AOB 等于（ ）已知如图（7），ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交与P,C 两点，连结AC,AP,CP,并延长CP,AP 分别交AB,BC,⊙O 于E,H,F 三点，连结OF （1） 求证：△AEP ～△CEA (2 ) 求BH:HC分析：此题应用了双割线模型(1) 证明：由12∠=∠∴△AEP ～△CEA （2） 解：OF ∥AB ∴△OHF ～△BHA ∴OH OFBH AB=AB=BC=2OF∴12OH BH = 设OH=k ，HB=2k ，则OC=OB=OH+HB=3k ∴HC=4k∴BH:HC=2k:4k=1:2四、三直角模型如图（1）直角△ABC∽直角△ACD∽直角△BCD222,,**;*;**()AC BC CD AB AC AD AB BC BD AB CD AD DB AC BC CD AB ⊥⊥====则有；射影定理 例1、如图（2）在△ABC 中∠ACB=90,CD ⊥AB 于D, 求证CE*AC=AD*BD 证明：在Rt △ACD 中，CD 2=CE*AC, 在Rt △ACB 中 , CD 2=AD*BD ∴CE*AC=AD*BD例2、如图（2），在△ABC ，∠C=90,CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于 E ，垂足分别为D,E 求证：22AC BC =AECE证明：在Rt △ABC 中，AC 2=AD*AB ，BC 2=BD*AB ，22AC BC ∴=ADBD(1)D CBA 三直角模型(2)EABCD(3)OEDCBA又AD ED BC BD ⇒=AECE22AC BC ∴=AE CE 例3、如图（3）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F,求证：AB*AE=AC*AF证明: AD ⊥BC, DE ⊥AB∴△ABD △ADE ⇒AD 2=AB*AE 又 AD ⊥BC, DF ⊥AC∴△ACD △ADF ⇒ AD 2=AC*AF 因此 AB*AE=AC*AF 例4、如图（4），BC 是半圆的直径,O 是圆心,P 是BC 延长线上一点,PA 切半圆于点A,AD ⊥BC 于点D ，求证；PD*PO=PC*PB证明:PA 为切线，∴PA 2=PC*PB ，在Rt △AOP 中， PA 2=PD*PO∴PD*PO=PC*PB例5、如图(5)，点P 是O 的直径BA 延长线上一点,PC 于O 相切于点C,CD ⊥AB,垂足为D,连接AC,BC,DC,那么下列结论中: 1、PC 2=PA*PB 2、PC*OC=OP*CD 3 、OA 2=OD*OP 4、OA(CP-CD)=AP*CD 正确的结论有(D)A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：3、OC 2=OA 2=OD*OP4、OA(CP-CD)=PC*OA=OP*CD,OP=OA+AP PC*OA=(OA+AP)*CD 例6、如图(6),在Rt △ABC 中,CD 是斜边上的高,DE ⊥BC 于E,则图中与△ABC相似的三角形(不包括△ABC)共有(B)A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个分析：△ABC ～△ACD ～△CDE ～△CDB ～△DEB例7、如图3已知AB 是圆O 的直径，圆O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，求证（1）DE 是圆O 的切线（2）CD 2=CD ⨯CB（1）连结OD D 是AC 的中点，O 是AB 的中点，∴OD//BC 所以∠CED=∠ODE=090，∴DE 是圆O 的切线。