抽象函数问题专题抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。

通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。

因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。

由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。

对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。

一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝········································································································································· （ ）A ．0B ．1C ．52D ．5⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ）A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 余弦函数⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f •g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f •g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ）A. ((f g ) •h ) (x )＝((f •h )(g •h ))(x )B. ((f •g ) h ) (x )＝((f h )•(g h ))(x )C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x )D. ((f •g ) •h ) (x )＝((f • h )•(g •h ))(x )【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ；⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ；⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ；⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ；⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 .【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).【总结】在解决抽象函数与函数的定义、函数值、解析式有关的问题，往往可以考虑换元法、赋值法、待定系数法等。

二、抽象函数与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值【例4】⑴若f (x )是周期为T （T > 0）的奇函数，则F (x )＝f (2x －1)·f (2x + 1)是 ··········· （ ）A. 周期为T 2的奇函数B. 周期为T 2的偶函数C. 周期为T 4的奇函数D. 周期为T 4的偶函⑵设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是单调递减.其中，正确的命题是 ····································································································· （ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④⑶已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (3－x )＝f (3＋x )，则 ············ （ ）A. f (x )一定是奇函数B. f (x )一定是偶函数C. f (x )的图象一定关于直线x ＝－2对称D. f (2x )的图象一定关于直线x ＝－12对称 ⑷已知y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是 ································ （ ）A. x ＝1B. x ＝2C. x ＝－12D. x ＝12⑸（2006山东）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)＝ ·············· （ ）A. －1B. 0C. 1D. 2⑹定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2009)的值为（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2【例5】⑴（2011湖南）已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (－2)＝ ；⑵（2010重庆）已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4 f (x ) f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )（x ，y ∈R ），则f (2010)＝ ；⑶（06安徽）函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5, 则f (f (5))＝ .⑷设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝ .⑸已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，若f (0)＝2004，f (2011)＝ ，f (2012) ＝ . ⑹设函数f (x )对任意实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，若x ＞0时f (x )＜0，且f (1)＝－2,则f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别是 .【例6】已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数m 、n 满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1.且f (12)＝2，当x ＞－12时，f (x )＞0⑴求f (－12)的值；⑵证明：f (x )在定义域R 是增函数.【例7】定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝1，f (x 5)＝12f (x )，且当0≤x 1＜x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (12012)＝ ························································ （ ）A. 12B. 116C. 132D. 164【总结】用抽象函数考查函数的性质是高考的重点难点，解决这类问题的思维是根据函数各种性质的定义结合已知条件进行逻辑推理，特别是周期性、对称性，是家常便饭，往往我们都要注意从中挖掘函数的周期，在解决这类问题还要注意结合函数（也可以构造三角函数）的草图加以快速的解答，关于对称问题主要转化为点与直线，点与点的对称而解决. 一般的：①若定义域为I 的函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是T ＝2a 的周期函数；若定义域为I 的函数f (x )满足f (x ＋a )＋f (x )＝b ，则f (x )是T ＝2a 的周期函数；②若定义域为I 的函数f (x )满足f (x ＋a )＝±1f (x )，则f (x )是T ＝2a 的周期函数；若定义域为I 的函数f (x )满足f (x ＋a )·f (x )＝±b ，则f (x )是T ＝2a 的周期函数；③若定义域为I 的函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，f (b ＋x )＝f (b －x )（a ≠b ），则f (x )是周期 T ＝2(a －b )的周期函数.④若定义域为I 的函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，f (b ＋x )＋f (b －x )＝0（a ≠b ），则f (x )是周期T ＝4(a －b )的周期函数.⑤若定义域为I 的函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，f (b ＋x )＋f (b －x )＝0（a ≠b ），则f (x )是周期T ＝2(a －b )的周期函数.⑥若定义域为I 的函数f (x )满足f (x ＋a )＝11－f (x )，则f (x )是T ＝3a 的周期函数. 【特别提醒】①若函数f (x )在区间D 上满足，对于任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0（或＜0），则函数f (x )在区间D 上是增（减）函数；②若f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )，函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，经常会误认为f (－x －a )＝f (x ＋a )；③若f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )，函数f (x )的图象关于点(a ，0)对称，经常会误认为f (－x －a )＝－f (x ＋a )；④注意函数图象本身的对称性和两个函数图象的对称性的区别：1︒ f (a ＋x )＝f (b －x ) ⇔ y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2轴对称；而函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x ) 的图象关于直线x ＝b －a 2轴对称；2︒ f (a ＋x ) + f (b －x )＝c ⇔ y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b 2，c 2)中心对称；而函数y ＝f (a ＋x )与y ＝c －f (b －x ) 的图象关于点(b －a 2，c 2)中心对称.三、抽象函数与导数、不等式【例8】⑴（2011辽宁理）函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ' (x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为 ······································································································ （ ）A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) ⑵（04湖南）设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f '(x )g (x )＋f (x )g ' (x )＞0，且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )＜0的解集是 ······················· （ ）A. (－3，0) (3，＋∞)B. (－3，0) (0，3)C. (－∞，－3) (3，＋∞)D. (－∞，－3) (0，3)⑶（09陕西－12）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0]（x 1≠x 2），有(x 2－x 1)( f (x 2)－f (x 1))＞0．则当n ∈N *时，有 ································································ （ ）A. f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)B. f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)C. f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)D. f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )⑷设函数f (x )在R 上的导函数为f '(x )，且满足2 f (x )＋x f '(x )＞x 2，则下面不等式在R 上恒成立的是 ····································································································································· （ ）A. f (x )＞0B. f (x )＜0C. f (x )＞xD. f (x )＜x⑸（07陕西）f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足x f '(x )＋f (x )≤0．对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有 ···································································································· （ ）A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．a f (a )≤f (a )D ．bf (b )≤f (a )⑹已知函数f (x )，x ∈R 满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导函数f '(x )满足f '(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为 ；⑺已知f (x )是定义域为[－1，1]上的偶函数，且在[0，1]上是增函数，若f (1－a )＜f (1－a 2)，则实数a 的取值范围是 .【例9】奇函数f (x )在定义域(－1，1)内递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围.四、抽象函数与图象、零点【例10】⑴（2011陕西理3）设函数f (x )（x ∈R ）满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图像可能是 ······································································································· （ ）A BC D⑵（07安徽）定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ························ （ ）A ．0B ．1C ．3D ．5⑶已知实数集上的函数f (x )恒满足f (2＋x )＝f (2－x )，程f (x )＝0有5个实根，则这5个根之和＝_____________五、抽象函数与函数的性质的综合考查【例11】⑴（2004福建）定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，5]时，f (x )＝2－|x －4|，则 ································································································· （ ）A ．f (sin π6)＜f (cos π6)B ．f (sin1)＞f (cos1)C ．f (cos 2π3)＜f (sin 2π3)D ．f (cos2)＞f (sin2) ⑵已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，且f (－5)＝－2，当x 1，x 2∈[0，3]且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则给出下列命题： ①f (2011)＝－2； ②函数y ＝f (x )图象的一条对称轴为x ＝－6；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数；④方程f (x )＝0在[－9，9]上有4个根；上述命题中的所有正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）【例12】已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，求证：⑴ f (x )是奇函数；⑵若f (x)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)恒等于0.【例13】（2002北京）已知f (x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f (ab)＝af (b)＋bf (a).⑴求f (0)、f (1)的值；⑵判断函数f (x)的奇偶性，并加以证明.【例14】定义在R上的函数y＝f (x)，f (0)≠0，当x＞0时，f (x)＞1，且对任意的a、b∈R，有f (ab)＝f (a)＋f (b).⑴证明：f (0)＝1；⑵对任意x∈R，恒有f (x)＞0；⑶证明：f (x)在R上是增函数；⑷若f (x)·f (2x－x2)＞1，求x的取值范围.【总结】1、在解决有关函数基本概念等问题，往往采用换元法、赋值法、待定系数法；2、涉及函数性质讨论时，也可构造的具体函数法——模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。