＝ c3ocso4s04°0°＝ 3.
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5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac， 则角 B 的值为__π3_或__2_3_π___．
解析 由余弦定理，得a2＋2ca2c－b2＝cosB， 结合已知等式得 cosB·tanB＝ 23， ∴sinB＝ 23，又 0＜B＜π，∴B＝π3或23π.
(3)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产 生增解．
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(2020·唐山模拟)若 sin78°＝m，则 sin6°＝( D )
m＋1
A.
2
1－m B. 2
m＋1 C. 2
1－m
D.
2
解析 因为 sin78°＝m，所以 cos12°＝m，则 sin26°＝1－c2os12°＝1－2 m，又 sin6°
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考点❷利用正、余弦定理解三角形☆☆☆
【典例 1】 (2020·济南模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
且coasA＋cobsB＝sincC，若 b2＋c2－a2＝85bc，则 tanB 的值为( C )
A．－13
1 B.3
C．－3
D．3
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(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
且 sinB－sinA(sinC＋cosC)＝0，a＝2，c＝ 2，则角 C＝( B )
5π
π
A. 6
B.6
π
π
C.4
D.3
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解析 因为 A＋C＝π－B，所以 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，因为 sinB －sinA(sinC＋cosC)＝0，所以 cosAsinC－sinAsinC＝0，因为 C∈(0，π)，所以 sinC＞0， 所以 cosA＝sinA，即 tanA＝1.又 A∈(0，π)，所以 A＝π4，由正弦定理得sianA＝sincC，又 a＝2，c＝ 2，所以 sinC＝12.因为 a＞c，所以 C＝6π，故选 B.
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优解：由三角形中的射影定理可知 ccosB＋bcosC＝a，所以 ccosB＋bcosC－2acosA
＝0 可化为 a－2acosA＝0，因为 a≠0，所以 cosA＝12.又 0＜A＜π，所以 A＝3π.由 b＝2，
S
△
ABC
＝
1 2
bcsinA
＝
2
3，得 c＝4.由余弦定理可得
3．△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝ 2
a，则ba等于( D )
A．2 3
B．2 2
C. 3
D. 2
解析 由 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a 及正弦定理，得 sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝ 2sinA， 即 sinB＝ 2sinA，所以ba＝ssiinnBA＝ 2.
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第二部分 突破热考题型 提升关键能力
板块二 核心考点 专题突破 专题一 三角函数、三角恒等变换与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形 (小题攻略)
目 录
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[自测 A——夯基]
1．若 sinπ3－α＝14，则 cosπ3＋2α等于( A )
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4．4sin40°－tan40°＝______3____.
解析 原式＝4sin40°－csoins4400°°
＝4cos40°scions4400°°－sin40°
＝2sin8c0o°s－40s°in40°
＝2sin120°c－os4400°°－sin40°
＝
3cos40°＋sin40°－sin40° cos40°
3 A. 3
C．－
3 3
B. 3 D．－ 3
解析 由ssiinnα2α＝＋2c－os2α3＝co1s，α， 得 4cos2α－4 3cosα＋3＝(2cosα－ 3)2＝0，得
cosα＝ 23，则 sinα＝12， 所以 tanα＝csoinsαα＝ 33，故选 A.
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3．已知锐角 3
α，β
满足
cosα＝
55，tanβ＝3，则
tan(α＋β)＝____－__1____，α＋β＝
_____4_π____.
解析 锐角 α，β 满足 cosα＝ 55，所以 sinα＝ 1－cos2α＝255，所以 tanα＝2.因为 tanβ＝3，则 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝－1.又 α，β∈0，π2，所以 α＋β∈(0，π)，所以 α ＋β＝34π.
解析 因为sin2320°－cos1220°
＝3csoins222200°°－cossi2n2202°0°
＝
3cos20°＋sin20° 3cos20°－sin20° 14sin240°
＝2cos20°－3140si°n224c0o°s20°＋30°
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＝16cossi1n024°c0o°s50°＝16sisnin4800°° ＝32sins4in04°0co°s40°＝32cos40°， 所以sin2320°－cos1220°＋64sin220° ＝32cos40°＋64×12(1－cos40°)＝32.
为( C )
1 A.3
2 B.3
C．－13
D．－23
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解析 方法一：依题意得 22(cosα－sinα)＝ 36，12(cosα－sinα)2＝23，即 1－sin2α＝ 43，sin2α＝－13，选 C.
方法二：sin2α＝－cos2π＋2α＝1－2cos2π4＋α＝1－2× 362＝－13，选 C.
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解析 因为coasA＋cobsB＝sincC， 所以csoinsAA＋csoinsBB＝ssiinnCC＝1，即ta1nA＋ta1nB＝1， 又 b2＋c2－a2＝85bc， 所以由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 可得 cosA＝45，则 sinA＝ 1－cos2A＝35，tanA＝csoinsAA＝34，解得 tanB＝－3，故选 C.
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【典例 2】 已知在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，A 为最小
角，且 a＝ 3，b＝2，cosA＝58，则△ABC 的面积等于( C )
73 A. 16
39 B. 16
39 C. 4
73 D. 4
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解析 cosA＝58⇒sinA＝ 1－cos2A＝ 839， 由余弦定理得 a2＝c2＋b2－2bccosA，
a2 ＝ b2 ＋ c2 － 2bccosA ＝ 22 ＋ 42 －
2×2×4×12＝12，所以 a＝2 3.由正弦定理得sianA＝sincC，则 sinC＝c·sainA＝4×2 si3nπ3＝1，
又 C∈(0，π)，所以 C＝2π.故选 AB.
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1．正弦定理：在△ABC 中，sianA＝sibnB＝sincC＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变 形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR，a∶b∶c ＝sinA∶sinB∶sinC 等．
＞0，所以 sin6°＝
1－2 m，故选 D.
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2．(2020·全国卷Ⅲ)已知 sinθ＋sinθ＋3π＝1，则 sinθ＋6π＝( B )
1
3
2
2
A.2
B. 3
C.3
D. 2
解析 故选 B.
∵sinθ＋sinθ＋π3＝32sinθ＋ 23cosθ＝ 3sinθ＋6π＝1，∴sinθ＋6π＝ 33，
2．余弦定理：在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccosA. 变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋2cb2c－a2. 3．三角形的面积公式：S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA. 求三角形的面积时，有时可以利用余弦定理求出 ab 的整体值再求面积，而不必分 别求出 a，b 的值．
A．A＝3π
B．C＝π2
C．a＝ 3
D．c＝2
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解析 通解：由正弦定理知，ccosB＋bcosC－2acosA＝0 可化为 sinCcosB＋ sinBcosC－2sinAcosA＝0，即 sin(B＋C)－2sinAcosA＝0，因为 sin(B＋C)＝sinA，且 sinA ＞0，所以 cosA＝12.又 0＜A＜π，所以 A＝3π.由 b＝2，S△ABC＝12bcsinA＝2 3，得 c＝4. 由余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋42－2×2×4×12＝12，所以 a＝2 3.由正弦 定理得sianA＝sincC，则 sinC＝c·sainA＝4×2 si3n3π＝1，又 C∈(0，π)，所以 C＝2π .故选 AB.