01.量子力学基础知识【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J·mol -1为单位的能量。

解：811412.99810m s 4.46910s 670.8m cνλ−−×⋅===× 41711 1.49110cm 670.810cm νλ−−===××%3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν−−==×⋅××××=⋅【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下：波长λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 光电子最大动能E k /10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。

解：将各照射光波长换算成频率,并将各频率与对应的光电子的最大动能E k 列于下表：v λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1v /1014s －19.59 8.21 7.41 5.49E k /10－19J 3.41 2.56 1.95 0.75 由表中数据作图，示于图1.2中E k /10-19Jν/1014g-1图1.2 金属的kE ν−图由式 0k hv hv E =+推知0k kE E h v v v Δ==−Δ即Planck 常数等于图的斜率。

选取两合适点，将和v 值带入上式，即可求出h 。

例如： k E −v k E ()()19341412.708.50 1.0510 6.601060010J h J s s −−−×==×−×图中直线与横坐标的交点所代表的即金属的临界频率，由图可知，。

因此，金属钠的脱出功为：v 0v 1410 4.3610v s −=×341410196.6010 4.36102.8810W hv J s s J−−−==×××=×【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hv hv mv =+ ()1201812341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kg υ−−−−−−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎞×××−×⎢⎥⎜⎟×⎝⎠⎢⎥=⎢⎥×⎢⎥⎣⎦134141231512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s −−−−⎡⎤××××=⎢⎥×⎣⎦=×【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a ） 质量为10-10kg ，运动速度为0.01m·s -1的尘埃；（b ） 动能为0.1eV 的中子； （c ） 动能为300eV 的自由电子。

解：根据关系式：(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ−−−−×⋅===××⋅34-11 (2) 9.40310m h p λ−====×3411(3) 7.0810mh p λ−−====×【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为，计算电子加速后运动时的波长。

200kV 解：根据de Broglie 关系式：34122.74210h h p m mλυ−−=====×【1.6】对一个运动速度c υ （光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：1v vv v 2h h E m p m νλ=====①②③④⑤结果得出12m m υυ=的结论。

上述推导错在何处？请说明理由。

解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：/E hv p h λ==式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。

根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：p m υ=知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。

微粒波的波长λ服从下式：/u v λ=式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了/u v λ=，显然是错的。

在④中，无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量。

若计及E 中的势能，则⑤也不正确。

E hv =【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m·s -1），尘埃（质量10-9kg ，速度10m·s -1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m·s -1）、原子中电子（速度1000 m·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：343416.2610 6.63100.01100010%h J s x m m v kg m s −−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅ 尘埃：3425916.62610 6.6310101010%h J s x m m v kg m s −−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅花粉：34201316.62610 6.631010110%h J sx m m v kg m s −−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅电子：3463116.626107.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s −−−−×⋅Δ===×⋅Δ×××⋅【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度υΔ为υ的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：34103.8810h x m mυ−−====×这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。

人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。

因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约）观察不到电子衍射（用100000电压加速电子）。

610m −V 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：9911 1.22610/1.226101.22610x h h x p h m λ−−−===×=×=×这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

解法二：若电子位置的不确定度为10－6m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610x h J p x m J s m −−−−×Δ==Δ=×s在104V 的加速电压下，电子的动量为：2315.40210x x p m J s m υ−−====×由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：2812315arcsin arcsin6.62610arcsin 5.40210arcsin100x xop p J s m J s m θθ−−−−−Δ==⎛⎞×⎜⎟×⎝⎠≈这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。

因此，用光学光栅观察不到电子衍射。

【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：22,,d d dx idx dxdx解：由线性算符的定义：i j i ˆˆA()A A j ˆψψψ+=+ψ22d d ,,d x d x x 为线性算符;而d idx 为线性自轭算符.【1.11】2axxe ϕ−=是算符22224d a x dx ⎛⎞−⎜⎟⎝的本征函数，求其本征值。

⎠解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：22222222244ax d d a x a x xe dx dx ψ−⎛⎞⎛⎞−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ()2222224ax ax dxe a x xe dx −−=−()2222222232323242444ax ax ax ax ax ax ax d e ax e a x e dxaxe axe a x e a x e −−−−−−=−−=−−+−2−266axaxe a ψ−=−=−因此，本征值为。

6a −【1.12】下列函数中，哪几个是算符22d dx 的本征函数？若是，求出本征值。

e x 3,sin ,2cos ,,sin cos x x x x +x 解：2x2d e d x =，是x e 22d d x 的本征函数，本征值为1。

22d sin x 1sin x,d x=×sin x 是22d d x 的本征函数，本征值为1。

22d (2cos x )2cos x d x =【1.13】im e φ和cos m φ对算符did φ是否为本征函数？若是，求出本征值。

解：im im d i e ie d φφφ=，im im me φ=−所以，im e φ是算符d id φ的本征函数，本征值为m −。

而()cos sin sin cos d i m i m m im m c d m φφφφ=−=−≠ φ所以cos m φ不是算符did φ的本征函数。

【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。

证：在长度为l 的一维势箱中运动的粒子的波函数为：()n x ψ=01x << n =1，2，3，……令n 和n’表示不同的量子数，积分：()()()()()()()()()()()()()()''0'0''''0''''0''''2sin sin sin sin 222sinsin sin sin l lnn llln x n xx x d dx l ln x n x dx l l ln n n n x x l l l n n n n l l n n n n x x l l n n n n n n n n n n n n ππψψτππππππππππππππ==⎡⎤−+⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−+××⎢⎥⎣⎦⎡⎤−+⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦−+=−−+∫∫n 和皆为正整数，因而和'n ()'n n −()'n n +皆为正整数，所以积分：()()'lnn x x d ψψτ=∫根据定义，()n x ψ和()'n xψ互相正交。