6.用法向量解题的立几模型一般是:正(长)方体、直棱柱、正棱锥 等.
作业:
D1
C1
A1 B1
D C
A
B
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 求异面直线AA1和BD1间的距离.
h=
AA1 • n
3
n
3
第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D 的距离就是异面直线A1D与AC间的距离.
所以，所求的距离为 3
3
小结：
求两条异面直线间的距离步骤如下 1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α 2.求α平面的法向量 n 3.找到连接线与面向量 4.求这个向量在法向量 n 上的射影长,即为所求.
总结:
1.求异面直线间的距离的关键是找到经过一条直线与另一直线平 行的平面.把向量通过坐标形式正确表示出来. 2.求异面直线间的距离的难点是求这个平面的法向量.
3.求异面直线间的距离的重点是转化为求点到面的距离. 4.求异面直线间的距离易错的是找连接直线和平面的向量. 5.用法向量解题的立几题的优点是不需大量的逻辑推理,完全依 靠计算就可以解决问题.不需要确定垂足的位置.
α
)θ B
h BA cos BA, n
注意! 点B必须在平面内
BA • n
n
h
n
c
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, 求直线 A1D和AC间的距离.
z
解:建立空间直角坐标系
D1
C1
第一步:先求平面
A1C1D的法向量 n
A1
B1
由题知:AC=(-1,1,0),
A1D=(1,0,1) 设法向量n=(x,y,z)
练习：
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分别为B1C1、 C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离. （ 2） 并求直线AG与BD间的距离. z
D1 G
F
C1
E
A1
B1
A x
D B
y C
解: 建立如图的空间直角坐标系, 则由题知 DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AG∥BE
D
y
C
n • AC 0
x
A
B
n • Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD 0
解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x 所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1)
第二步:求A到平面A1C1D的距离
由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1） 在向量n上的射影长为
法向量的定义：
如果向量a⊥平面α，那么 向量a叫做平面α的法向量.
异面直线间的距离
如何求A1D和AC 间的距离?
↓ 即求线AC与面 A1C1D的距离
↓
即求点A(或C)到 面A1C1D的距离
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
A
求点到平面的距离
设A是平面α外的一点,AB 是α的一条斜线,交平面α于点B, 而n是平面α的法向量,那么向量 BA在方向n上的正射影长就是 点A到平面α的距离h.
设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z) ,则有:
n DB 0 n DF 0
x y 0
即
1 2
y
z
0
令x=1,y=-1,z=1/2
取n=(1,-1,1/2) ,
则A1到平面DBEF的距离h=
n DA1 1
n
又由AG∥BE, 所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离 同理可求得AG与BD间的距离为2/3.