性质4设 是方阵 的 个互不相同的特征值， 是依次与之对应的特征向量，则 线性无关.
性质5设 和 是矩阵 的两个不同的特征值， 和 是分别对应于 和 的线性无关的特征向量，则 线性无关.
三、主要例题：
例1求矩阵 的特征值和特征向量.
例2求矩阵 的特征值和特征向量
例3求矩阵 的特征值和特征向量.
例4设3阶矩阵的特征值为 ，求 的特征值.
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解方阵特征值、特征向量的概念和性质；
掌握方阵特征值、特征向量的求法。
教 学 基 本 内 容
一、方阵特征值、特征向量的概念及求法：
特征值和特征向量：设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式 成立，那么数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.
三、施密特正交化过程：
设 是向量空间 的一个基，第一步，将基 正交化（施密特（Schmidt）正交化）：令
则 两两正交，且与 等价.
第二步，将 单位化，得到 .
于是， 就是 的一个规范正交基.
四、正交矩阵：
正交矩阵：如果 阶矩阵 满足 (即 )，那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理设矩阵 是 阶方阵，则下列结论等价：
同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及二次型
线性代数教学教案
第四章相似矩阵及二次型
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第一节向量的内积、长度及正交性
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵
特征多项式：记 ，则 是 的 次多项式，称为矩阵 的特征多项式.
特征方程： .
的特征值就是特征方程的根。
二、方阵的特征值与特征向量的性质：
性质1设 阶矩阵 的特征值为 ，则
(i) ；
(ii) .
性质2若 是方阵 的特征值， 为对应于特征值 的特征向量，则
(i) 是方阵 的特征值（ 为非负整数），对应于特征值 的特征向量是 ；
(ii) 是方阵 的特征值（ 为任意常数），对应于特征值 的特征向量是 ；
(iii)当 可逆时, 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 ；
(iv)若矩阵 的多项式是 ，则方阵 的特征值是 （其中 是关于 的多项式），对应于特征值 的特征向量是 .
性质3如果 与 是方阵 的同一特征值 所对应的特征向量，则 ( 、 不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.
教学课题
第四章第四节实对称矩阵的相似对角化
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
（1） 是 阶正交阵；
（） 的列向量组是 的一个规范正交基；
（3） 的行向量组是 的一个规范正交基.
正交变换：若 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换.
五、主要例题：
例1已知3维空间 中的两个向量 正交，试求一个非零向量 ，
使 两两正交.
例2设 是 的一个基，求一个与 等价的规范正交基.
例3已知 ，求一组非零向量 ，使 两两正交.
矩阵可相似对角化的充分必要条件
参考教材
同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解矩阵相似的概念和性质；
理解矩阵可相似对角化的充分必要条件。
教 学 基 本 内 容
一、方阵相似的定义和性质：
定义：设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ， ，则称 是 的相似矩阵，或者说矩阵 与
相似.对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.
定理1若 阶矩阵 与 相似,则 与 有相同的特征多项式,从而 与 有相同的特征值.
推论若 阶矩阵 与对角阵 相似，则 即是 的 个特征值.
若 阶矩阵 与 相似，即 ，则 ，并且 的多项式
.
特别地，若有可逆矩阵 ，使 为对角阵，则 .而对于对角阵 ，有
教学难点
向量组的施密特正交化、正交矩阵
参考教材
同济版《线性代数》
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念；
掌握施密特正交化方法。
教 学 基 本 内 容
一、向量的内积、长度：
向量的内积：设有 维向量 ，令
，
称 为向量 与 的内积.
例5设 和 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 和 ，证明 不是 的特征向量.
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第三节相似矩阵
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
(iii)三角不等式 .
向量的夹角：当 时， 称为 维向量 与 的夹角.
二、正交向量组：
正交向量组：由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.
正交向量组的性质：若 维向量组 是一个正交向量组，则 线性无关.
规范正交基：设 维向量组 是向量空间 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称 是 的一个规范正交基.
内积的性质（其中 与 都是 维列向量， 为实数）：
(i) ；(ii) ；
(iii) ；(iv) ，当且仅当 时， .
柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式： .
向量的长度：设有 维向量 ，令 ，称 为向量 的长度（或范数）.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性当 时， ；当 时， ；
(ii)齐次性 ；
例4验证矩阵 是正交阵.
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节方阵的特征值与特征向量
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方阵特征值、特征向量的求法和性质
教学难点
方阵特征值、特征向量的求法和性质
参考教材
同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
，
由此可方便地计算 的高次幂 及 的多项式 .
二、方阵的相似对角化：
定理2 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量.
推论如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
三、主要例题：
例1设 有三个线性无关的特征向量，求 与 应满足的条件.
授课序号04
教 学 基 本 指 标