最优潮流算法概述摘要：最优潮流是一类典型的非线性规划问题, 在电力系统中求解最优潮流是一项基本而重要的工作。

本文论述了最优潮流算法问题, 对其中经典的简化梯度法、牛顿法、内点法、序列二次规划法、以及混合序列法做了详细介绍，并对智能化的潮流算法，如遗传算法、模拟退火法等进行了探讨，同时做了相应的比较。

然后结合最优潮流在电力市场下的应用进行了分析，最后指出最优潮流发展所面临的问题，并深入研究。

一引言最优潮流OPF (Optima l Power Flow)是指从电力系统优化运行的角度来调整系统中各种控制设备的参数,在满足节点正常功率平衡及各种安全指标的约束下,实现目标函数最小化的优化过程。

它将电网的经济调度、质量控制和安全运行统一协调起来，对电力系统的规划和运行有着重要意义。

最优潮流能够统一考虑电力系统在安全、经济和电压质量各方面的要求。

最优潮流问题，实质上是在满足一定的安全约束条件下，使目标函数达到最优的非线性规划问题。

具体地说，最优潮流是研究当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过系统变量的优选，所能找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的一个或多个目标达到最优时的潮流分布。

1962年, J. Carpentier介绍了一种以非线性规划方法来解决经济分配问题的方法[1],首次引入了电压约束和其它运行约束。

电力系统最优潮流是经过优化的潮流分布, 其数学模型可以表示为：,min(,)..(,)0(,)0fs t gh⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩u xu xu xu x（1.1）其中目标函数f 及等式、不等式约束g 及h中的大部分约束都是变量的非线性函数, 因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题。

本文论述了最优潮流算问题, 对其中的简化梯度法、牛顿法、内点法、序列二次规划法、遗传算法模拟退火法等进行了详细的比较。

二经典的最优潮流计算方法电力系统最优潮流的经典解算方法主要是指以简化梯度法、牛顿法、内点法和解耦法为代表的基于线性规划和非线性规划以及解耦原则的解算方法,是研究最多的最优潮流算法,这类算法的特点是以一阶或二阶梯度作为寻找最优解的主要信息。

2.1 简化梯度法1968年Dommel和Tinney在优化中利用牛顿拉夫逊潮流程序,采用梯度法进行搜索 ,用罚函数处理违约的不等式约束。

简化梯度方法采用的是一种迭代下降算法, 其基本思想[ 4] 是从一个初始点开始, 将不等式约束通过引入罚函数(,)w u x 来构造如下拉格朗日函数：(,)(,)(,)(,)T L f g w =++u x u x λu x u x （2.1） 沿搜索方向使其，有所下降, 然后由这新的点开始, 再重复进行上述步骤, 直到满足一定的收敛判据为止。

其一阶极值条件：(,)000TT Lg L f g w L f g w λ⎧∂==⎪∂⎪⎪∂∂∂∂⎪⎛⎫=++=⎨ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂∂∂⎛⎫⎪=++= ⎪∂∂∂∂⎪⎝⎭⎩u x λx x x x λu u u u （2.2） 求解的基本思想是，一旦独立变量给定，则迭代的核心方程为：1T Tg f w L f g w -⎧⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪=-+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎨⎪∂∂∂∂⎛⎫∇==++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎩λx x x f λu u u u （2.3） 简化梯度最优潮流算法是建立在牛顿法潮流计算的基础上的。

利用已有的采用极坐标形式的牛顿法潮流计算程序加以一定的扩充。

理函数不等式约束。

随后 PQ 解耦法和稀疏技术也被使用到梯度法上。

该方法程序编制简便 ,所需存储量小 ,对初始点无特殊要求 ,曾获得普遍重视 ,成为第一种有效的优化潮流方法。

但这种算法原理比较简单, 存储需求小, 程序设计也比较简便。

但这种算法在计算过程中会出现锯齿现象,收敛性较差, 尤其是在接近最优点附近收敛速度很慢; 每次迭代都要重新计算潮流, 计算量很大; 另外, 采用罚函数处理不等式时, 罚因子数值的选取对算法的收敛速度影响很大[2]。

2.2 牛顿法牛顿法是一种直接求解 Kuhn -Tucker 等式寻优的方法，具有二阶收敛速度。

该算法对变量不再区分为控制变量及状态变量, 这样便于构造稀疏的海森矩阵, 充分利用了电力网络的物理特征和稀疏矩阵技术。

当前 , 对牛顿法最优潮流的研究已经进入实用化阶段。

估计起作用的不等式约束集是实施牛顿法的关键 , 采用特殊的线性规划技术[ 2]处理不等式约束能使牛顿法最优潮流经过少数几次主迭代便得到收敛。

但牛顿法对初值的选取要求比较高，并且潮流计算收敛的迭代次数也因初值选取的不同有很大变化，甚至会由于初值的选取不当而不收敛[3]。

． 因此，初值的选取和收敛性的判断是影响牛顿类潮流计算收敛性和收敛时间的根本性问题之一。

文献[4-5] 中的牛顿类方法是对传统牛顿–拉夫逊方法的雅可比矩阵做了适当修改后 得到的改进的牛顿–拉夫逊方法。

文献[6]针对非常规电网的牛顿类潮流算法进 ，分析了含有小阻抗支路的牛顿 –拉夫逊方法，指出引起潮流发散的原因是牛顿法潮流方程本身的固有问题，提出通过提高电压起动值可避免这样的发散问题。

为了进一步减少计算量及内存需量, 也可以利用电力系统有功及无功间的弱相关性质, 将P-Q解耦技术应用于迭代方程式, 从而形成解耦型最优潮流牛顿算法。

解耦型最优潮流牛顿算法和快速分解潮流算法不同, 涉及的是在具体求解算法上的解耦简化处理, 而这里要讨论的解耦最优潮流则是从问题的本身或问题的模型上把最优潮流这个整体的最优化问题分解成为有功优化和无功优化两个子优化问题。

这两个子优化问题可以独立地构成并求解, 实现单独的有功或无功优化; 也可以组合起来交替地迭代求解, 以实现有功、无功的综合优化。

通过解耦或分解, 优化过程变为两规模近似减半的子问题串行迭代求解, 这样的算法将能在内存节约以及减少计算时间方面取得相当的效果。

因此, 在考虑具有实时运行要求的, 特别是大规模电力系统的最优潮流算法时, 采用这种解耦的最优潮流计算模型是一种很好的选择[7]。

图2.1 牛顿法潮流原理图解耦最优潮流的另一个优点在于容许根据两个子优化问题各自的特性而采用不同的求解算法, 这样能进一步提高算法的性能。

解耦法可以降低矩阵的维数，从而达到节约内存，提高计算速度的目的。

但在有些情况下，如支路潮流约束往往与功变量和无功变量都有关系，最优潮流问题就不宜解耦成两个子问题，此时给解耦法求解OPF问题的带来了困难。

2.3 内点法内点法最优潮流是解决最优潮流问题的最新一代算法。

它本质上是拉格朗日函数, 牛顿法和对数障碍函数法三者的结合, 从初始内点出发, 沿着最速下降方向, 从可行域内部直接走向最优解。

它的显著特征是其迭代次数与系统规模关系不大。

此外，其数值鲁棒性强，并且没有识别起作用约束集的困难。

目前, 内点法已被广泛应用于电力系统最优潮流问题的研究, 其计算速度和处理不等式约束的能力均超过了求解非线性规划模型的牛顿算法。

内点法有三种: 投影尺度法、仿射变换法、原对偶法。

投影法包括最初Karmarkar提出的算法，这种算法的成功也掀起众多学者对内点法研究的热潮，投影尺度法在OPF问题中性能较差,在实际应用中很少使用; 仿射尺度法最早可追溯到1967年Dikin提出的算法。

仿射尺度法虽然在理论基础上没有投影法好，但此算法简化了投影法计算的复杂度，因而在当时受到广泛欢迎[8]。

Ponnambalam等人应用对偶仿射尺度法来求解水电调度计划问题Vargas等人采用一种新的对偶仿射内点算法求解安全约束经济调试问题(SCED)的LP子问题。

由于对偶仿射尺度法在确定初始内点可行解比较复杂,并且在最优点附近收敛速度较慢,限制了该方法在解决OPF问题中的应用; 而原—对偶内点算法由于其收敛迅速, 鲁棒性强, 对初值的选择不敏感, 是目前研究最多的内点算法。

该算法现已被推广应用到二次规划领域,并正被进一步发展用于研究一般非线性规划问题。

原对偶内点法包括势减算法和路径跟踪算法。

目前应用最广泛的就是原对偶路径跟踪算法[9]。

而其中首先对原对偶内点法的理论进行较完整阐述的是在1986年由Megiddo 提出的。

路径跟踪法的中心路径如图2-1所示。

图2.2 投影在空间上的中心路径随着不断发展，内点法的应用领域也从线性规划向线性互补问题、二次规划问题、非线性规划问题等不断延伸。

内点法的缺点在于，基于原—对偶内点算法的对偶变量初值的选取和障碍参数的修正需要人为根据经验给出, 无一般规律可循; 用牛顿法进行迭代求解时需要严格控制步长以使得迭代中间变量在可行域之内, 离散变量的处理以及优化后的灵敏度分析等问题仍待进一步研究等[10]。

2.4 序列二次规划法序列二次规划法使用拟牛顿法作为主算法,使用罚函数处理约束,使用一种按照一定规则更新的矩阵来近似代替二阶海森阵。

有约束的拟牛顿法由于加入了Kuhn -Tucker方程的二阶信息,能保证超线性的收敛性。

在每一次主要迭代中QP子问题依次被求解,所以这种方法又称为序列二次规划法。

在Biggs, Han和Powell工作的基础上, SQP法允许有约束的牛顿法转化为无约束的牛顿法, 拟牛顿法的收敛性比梯度法要好, 但是由于近似海森矩阵不是稀疏的,使得拟牛顿法在大型网络中效率不高, 限制了其在大型网络中的使用[11]。

二次规划法是二阶的方法。

二次规划法将非线性规划问题中的目标函数用二次模型表示，而对约束条件则进行线性化处理。

与线性规划相比，二次规划的精度更高，解决最优潮流问题收敛精度较好, 能很好地解决耦合的最优潮流问题, 二次规划是一种特殊的非线性规划问题，相对于非线性规划来说，二次规划的形式比较简单，可近似地反映电力系统的物理特性，并且其海森矩阵是常数矩阵，一阶偏导数矩阵是线性的，这对于解最优潮流是很有利的条件。

但缺点是计算Lagrange函数的二阶偏导数, 计算量大、计算复杂。

2.5混合规划法混合规划法是针对OPF问题中有功优化子问题和无功优化子问题呈现不同的特性而选择的两种或几种方法联合求解。

文献[12]提出一种线性和二次规划混合优化方法求解经济调度问题，文献[13]说明线性规划法对于可分离性凸目标函数的问题特别有效，而对不可分目标函数问题（如网损最小化）的求解效果不尽如人意。

具有二次收敛特性的二次规划和牛顿法能够克服线性规划法存在的缺陷，但是在计算中需求拉格朗日函数的二次偏微分，如果有功优化子问题中发电费用目标函数是分段模型或者考虑机组阀点负荷时，就显得无能为力了。

三智能化的最优潮流算法虽然线性规划及非线性规划等方法已逐渐克服了在不等式约束处理、计算速度、收敛性和初始点等方面的困难，但对离散变量的处理还没有完善的解决方案。