值(极大或极小)。
第6章 最 优 控 制
6.1.3 性能指标的分类 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标
函数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能 的要求大致可以分为：
(1) 最短时间问题
J t f t0
tf dt,
t0
F x t，ut，t 1
(2) 最小燃料消耗问题
第6章 最 优 控 制 图6-1 飞船着陆示意图
第6章 最 优 控 制
自t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为
h v
v
f m
g
m kf
其中k为一常数。要求控制飞船从初始状态
h(0) h0, v(0) v0, m(0) M F
出发，于某一时刻tf实现软着陆，即 h(tf)=0，v(tf)=0
第6章 最 优 控 制 第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述 6.2 用变分法求解最优控制问题 6.3 极小值原理 6.4 用动态规划法求解最优控制问题 6.5 线性二次型最优控制调节器 6.6 MATLAB在系统最优控制中的应用
第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述 6.1.1 引言
x f (x, u,t),
x(t) t t0
x(t0 ),
x(t) tt f
x(t f )
(6-29)
其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数。
要求在控制空间中寻求一个最优控制向量u*，将系统从x(t0) 转移到x(tf)使以下性能指标
J tf L(x, u,t) d t t0
第6章 最 优 Biblioteka 制设动态系统的状态方程： x t f x t，ut，t
(6-1)
初始状态： x(t0)=x0
目标集： uxt(tUf)∈RSm
控制域： J x
性能指标：
tf
，t f
tf t0
F x t，ut，t dtt
(6-2)
最优控制的问题就是： 从所有可供选择的允许控制中寻
找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转移 到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达到极
及横截条件
L d L 0 x d t x
L
T
x
tf
x(t
f
)
L x
T
x(t0) 0
t0
注意： 满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
(6-15) (6-16)
第6章 最 优 控 制
如果x代表一个控制系统的输出，那么积分式(6-16)就是 系统全部性能的一个指标，而衡量性能的标准就在于使这个积 分最小化。由于控制问题多种多样，性能指标也有多种， 变分问题也就各不相同。对此，我们分别加以讨论。
沿最优轨迹x(t)取极小值。
(6-30)
引入哈密顿函数
J
tf t0
H (x, u,
λ, t )
λT
x dt
(6-31)
第6章 最 优 控 制
对式（6-31）右边第2项进行分部积分，可以得到
J λT (t0 )x(t0) λT (t f )x(t f )
tf t0
H ( x,
u,
λ, t)
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
H x
T
x
H u
T
u
λT
xd t
0
将上式改写成
T
J
φ x(t f
)
λ(t
f
)
x(t f )
tf t0
H x
T
λ
x
H u
T
u
d
t
0
(6-24)
由于λ(t)未加限制，可以选择λ(t)使上式中δx和δx(tf)的 系数等于零。于是有
dt
(6-8)
F
x
t, ut,t
1 2
x t xd tT Q x t xd t uT t Rut
第6章 最 优 控 制 (4) 、(5)两类性能指标统称为二次型性能指标，这是工 程实践中应用最广的一类性能指标。
第6章 最 优 控 制 6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 泛函与变分 1. 泛函的基本定义 如果对于某个函数集合{x(t)}中的每一个函数x(t)，变
(6-13)
证明从略。
第6章 最 优 控 制
4. 欧拉方程 定理6-2 设有如下泛函极值问题：
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t)及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定， 已知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
λ H L f λ x x x
(6-25)
第6章 最 优 控 制
以及
φ λ(t f ) x(t f )
此时式（6-24）可简化为
J
tf t0
H u
T
udt
0
由于δu是任意的变分，所以要满足式（6-27）只有
(6-26) (6-27)
H L f λ 0 u u u
(6-28)
λT
x d t
令性能指标J的一次变分等于零，得
J
tf t0
H x
λT
x
H u
T
udt
0
选择 λ(t) ，使其满足 λ H
x
J
tf t0
H u
T
udt
0
(6-32) (6-33) (6-34)
在末端状态固定情况下，不是任意的。若系统能控，仍然有控
制方程 H 0 u
第6章 最 优 控 制
立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范 围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价 运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于 所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运 动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此， 从数学上看，最优控制问题可以表述为： 在运动方程和允许 控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指 标函数(称为泛函)求取极值(极大值或极小值)。抽象为共同 的数学模型，可以得到最优控制问题的一般性提法。
J
tf t0
ut dt,
F x t，ut ，t
u t
(3) 最小能量控制问题
J tf u2 td t, t0
F x t，u t，t u2 t
(6-3) (6-4) (6-5)
第6章 最 优 控 制
(4) 线性调节器问题
n
J
i 1
x t f 2
t0 i
t
dt
x t f n
第6章 最 优 控 制
6.2.2 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制 非线性时变系统状态方程为
x f (x, u,t), x(t) tt0 x(t0 )
(6-17)
其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数。
要求在控制空间中寻求一个最优控制向量u(t)，使以下性能指
标
J φ[x(t f )] tf L(x, u,t) d t t0
量J 都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数x(t)的泛 函，记作J[x(t)]。可见，泛函为标量，可以理解为“函数 的函数”。
第6章 最 优 控 制
例如：
3
J[x] 0 x(t) d t
(其中，x(t)为连续可积函数)
当x(t)=t时，有J=4.5；当x(t)=et时，有J=e3－1。
第6章 最 优 控 制
式（6-28）说明哈密顿函数对控制有极值，称为最优控
制问题的极值条件，式（6-25）称为伴随方程。这样前面的推导
就将最优控制问题转化为求解微分方程的两点边界值问题。
第6章 最 优 控 制
例6-2 已知系统状态方x 程ax u, x(0) x0,tf
为最小值的欧拉方程固和定横，J (截xx()条tf)1件2自0。t f由(ax。,2 rr试为2u写常2 ) 出数为。使
第6章 最 优 控 制
控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax， 即
0≤f(t)≤fmax 满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止
一种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，问题可归结为
求
为最大的数学问题。
J=m(tf)
第6章 最 优 控 制
6.1.2 最优控制问题的提法 由上面的具体实例可知，为了解决最优控制问题，必须建
对式(6-22)中的第三项进行分部积分，得
J φ[x(tf )]
tf H(x, u, λ,t) d t λT(t) x tf
t0
t0
tf λT(t)x d t
t0
当泛函J取极值时，其一次变分等于零，即δJ=0。
(6-20) (6-21) (6-22)
(6-23)
第6章 最 优 控 制
求出J的一次变分并令其为零。
H ( x, u, λ,t) L( x, u,t) λT (t) f ( x, u, t)
则
J φ[x(t f )] tf [H (x, u, λ,t) λT(t)x]d t t0
φ[x(t f )] tf H (x, u, λ,t) d t tf λT(t)x d t
t0
t0
J[x] J[x] J[x0 ] 0 或 J[x] J[x] J[x0 ] 0
(6-12)
则称J[x(t)]在x0处达到极大值或极小值。