微分几何一、判断题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）2、二阶微分方程22u v du u v dudv u v dv++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0线. （⨯）3、若()s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和()4、向量函数()s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，s t平行（×）s t的微商与()()5、等距变换一定是保角变换.（√）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（⨯）7、常向量的微商不等于零（×）8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×）9、对于曲线s=()s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√）12、单位切向量的模是1（√）13、每一个保角变换一定是等距变换（×）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为⎰'ba dt t r )(19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α=1{3cos ,3sin ,4}5x x --，β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ=625sin 2x ，τ=825sin 2x。
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ϕθϕθψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=⋅q p )cos(～pq q p24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是0))(),(),((000=-s r s r s r R27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为dv ，高斯曲率K =2236(36)u -+ ，平均曲率 H = 0 ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 66,3737-。
30、（Cohn-Voeeen 定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R 3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。
解：},,cos ,sin {t te t t t t r =},,sin cos ,cos {sin )(t t te e t t t t t t t r +-+=' }2,cos sin 2,sin cos 2{)(t t te e t t t t t t t r +---=''在原点处0=t},0,0,0{)0(=r },1,1,0{)0(='r }.2,0,2{)0(=''r在原点处切平面的方程为:0))0(),0(),0((='''-r r r R即 0=-+Z Y X 法平面的方程为:0)0())0((='⋅-r r R即 0=+Z Y 切线方程为)0()0(r r R '=-λ即110ZY X ==34、求曲面33z x y =-的渐近曲线。
解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-49uu L n r u =⋅=0uv M n r =⋅=，49vv N n r u=⋅=因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+35.求双曲抛物面}2),(),({uv v u b v u a r -+=的第一基本形式 解:},2),(),({uv v u b v u a r -+= },2,,{v b a r u = }.2,,{u b a r v -= uv b a r r F v b a r r E v u u u 4,422222+-=⋅=++=⋅=,.4222u b a r r G v v ++=⋅=2222222222)4()4(2)4(dv u b a dudv uv b a du v b a I ++++-+++=∴36.计算球面)sin ,sin cos ,cos cos (θϕθϕθR R R r =的第二基本形式. 解:},cos ,sin sin ,cos sin {},0,cos cos ,sin cos {),sin ,sin cos ,cos cos {θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθθϕR R R r R R r R R R r --=-==由此得到,cos 22θϕϕR r r E =⋅= ,0=⋅=θϕr r F ,2R r r G =⋅=θθ2FEG r r n -⨯=θϕθϕθϕθϕθϕθθcos sin sin cos sin 0cos cos sin cos cos 13212R R R R R e e e R ---==},sin ,sin cos ,cos {cos θϕθϕθ 又由于},0,sin cos ,cos cos {ϕθϕθϕϕR R r --= },0,cos sin ,sin sin {ϕθϕθϕθR R r -=},sin ,sin cos ,cos cos {θϕθϕθθθR R R r ---=所以),(cos 2θϕϕR n r L -=⋅= ,0=⋅=n r M ϕθ ,R n r N -=⋅=θθ因而得到)cos (222θϕθRd d R Ⅱ+-=37.如果曲面的第一基本形式,)(222222c v u dv du ds +++=计算第二类克力斯托费尔符号. 解:因为222)(1c v u E ++=, 0=F , 222)(1c v u G ++= 所以u u G c v u uc v u u c v u E =++-=++⋅++-=32242222)(4)(2)(2v v G c v u vc v u v c v u E =++-=++⋅++-=32242222)(4)(2)(2 所以,2222111c v u u E E u ++-==Γ,2222211c v u v G E v ++=-=Γ ,2222112c v u v E E v ++-==Γc v u u G G u ++-==Γ2221222, cv u u E G u ++=-=Γ2212222,c v u v G G v ++-==Γ222222238、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率。
解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E = u-线的测地曲率ug κ==v-线的测地曲率vg κ==39、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线Γ是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线Γ是测地线.事实上，设:()(1,2)iiu u s i T ==，则Γ的切向量为1212du du r r ds dsα=+ 记 1du a ds '=，22du a ds =，111,i j ij i j Da da a du =+Γ∑，222,i jiji jDa da a du =+Γ∑ 则曲线Γ的切向量α沿Γ平行移动⇔0D α=⇔ 120,0Da Da ==⇔ 0(1,2)iDa i ds==⇔ 22,0(1,2)k i jk ij i jd u du du k ds ds ds +Γ==∑ ⇔ Γ为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线. 解:因为 },,sin ,cos {bv v u v u r =.0,,0,,0,12222=+-==+===N bu b M L b u G F E由于,0==N L 所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是},,sin ,cos {00bv v u v u r =这是螺旋线,另一族渐近线是},,sin ,cos {000bv v u v u r =这是直线.41、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.42、证明)(t r 具有固定方向的充要条件是0)()(='⨯t r t r证明:必要性 设e t t r )()(λ=(e 为常单位向量),则,)()(e t t r λ'='所以 0)()(='⨯t r t r 充分性: )()()(t e t t r λ=()(t e 为单位向量函数),则)()()()()(t e t t e t t r '+'='λλ, )].()()[()()(2t e t e t t r t r '⨯='⨯λ因为0)(,0)(≠≠t t r λ于是,当0)()(≡'⨯t r t r ,从而有,0)()(='⨯t e t e即)(//)(t e t e ',因为)()(t e t e '⊥(根据1)(=t e ),因此0)(='t e 即)(t e 为常向量,所以)()()(t e t t r λ=有固定方向43、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= .若0τ=，则Γ为平面曲线； 若0n β⋅=，则因Γ为曲面∑上的一条曲率线， 故d d n n r κ=. 而0n n n κκβκβ=⋅=⋅=，所以d 0n =，即n 为常向量. 于是Γ为平面曲线.44、求圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a t R =）（在3π=t 处的切线方程。