κ(θ) =
f 2(θ) + 2( f ′(θ))2 −
f
(θ
)f
3
”(θ
)
.
f 2(θ) + ( f ′(θ))2 2
解Y 曲线 C 参数化 a(θ) = (x(θ), y(θ)) = (r cos θ, r sin θ) = ( f (θ) cos θ, f (θ) sin θ). 直接计算有 x′(θ) = f ′(θ) cos θ − f (θ) sin θ, x′′(θ) = f ′′(θ) cos θ − 2 f ′(θ) sin θ − f (θ) cos θ, y′(θ) = f ′(θ) sin θ + f (θ) cos θ, y′′(θ) = f ′′(θ) sin θ + 2 f ′(θ) cos θ − f (θ) sin θ, (x′(θ))2 + (y′(θ))2 = f 2(θ) + ( f ′(θ))2, x′(θ)y′′(θ) − x′′(θ)y′(θ) = f 2(θ) + 2( f ′(θ))2 − f (θ) f ′′(θ),
(4)
a(t)
=
(at,
√ 2a
ln
t,
a t
)(a
>
0).
l
解Y 首先证明下述 E3 中参数曲线 a(t) 的曲率和挠率公式-
κ(t) =
a′(t) ∧ a′′(t) a′(t) 3
,
τ(t) =
a′(t), a′′(t), a′′′(t) a′(t) ∧ a′′(t) 2 .
直接计算. 弧长参数为
s(t) = t |a′(θ)|dθ,
0
j
=
da ds
=
da dt
ds dt
=
a′(t) |a′(t)|
,
j˙
=
1 |a′(t)|
dj dt
=
1 |a′(t)|4
a′(t), a′(t) a′′(t) − a′(t), a′′(t) a′(t)
a′(t) ∧ a′′(t) ∧ a′(t)
=
a′(t) 4
s(t) =
t |a′(θ)|dθ = t a2 sin2 θ + b2 cos2 θdθ,
0
0
κ(t)
=
(a2
sin2
t
ab + b2 cos2
t)3/2 .
(3) |a′(t)| = a2 sinh2 t + b2 cosh2 t. 直接计算便有
s(t) =
t |a′(θ)|dθ = t a2 sinh2 θ + b2 cosh2 θdθ,
t
s(t) = |a′(θ)|dθ,
0
|a′(t)| = (x′(t))2 + (y′(t))2,
从而我们有
j(s)
=
j(s(t))
=
da ds
=
da dt
/
ds dt
=
a′(t) |a′(t)|
=
(x′(t), y′(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2
及
N(s) = N(s(t)) =
,
注意到
a′(t) ∧ a′(t) ∧ a′′(t) ∧ a′(t)
$ = j∧N =
a′(t) 2 a′(t) ∧ a′′(t)
a′(t), a′′(t) ∧ a′(t) a′(t) − a′(t), a′(t) (a′′(t) ∧ a′(t))
=
a′(t) 2 a′(t) ∧ a′′(t)
=
a′(t) ∧ a′′(t) a′(t) ∧ a′′(t)
,
上述最后一个等式用到了向量外积公式
∧ ($ ∧ ,) = ⟨, ,⟩$ − ⟨, $⟩,.
注意到 a′(t)⊥ a′′(t) ∧ a′(t) . 则有
故而
κ(t) = |j˙| =
a′(t) ∧ a′′(t) a′(t) 3
,
N
=
j˙ κ
=
a′(t) ∧ a′(t)
a′′(t) ∧ a′(t) a′(t) ∧ a′′(t)
(−y′(t), x′(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2
,
求导有
j˙ (s)
=
dj ds
=
dj dt
/
ds dt
=
y′(t)(x”(t)y′(t) − x′(t)y”(t)), x′(t)(x′(t)y”(t) − x”(t)y′(t))
{(x′(t))2 + (y′(t))2}2
,
由曲率公式 j˙(s(t)) = κ(t)N(s(t)) 便得平面曲线曲率公式为
0
0
κ(t)
=
−
(a2
sinh2
t
ab + b2
cosh2
t)3/2
.
(4) |a′(t)| =
1
+
sinh2
t a
.
直接计算便有
s(t) = t |a′(θ)|dθ = t
0
0
1
+
sinh2
θ a
dθ,
κ(t)
=
cosh
t a
a(1 + sinh2
t a
)3/2
=
1 a cosh2
t.
a
习题 l VTl4.ikWY 设曲线 C 在极坐标 (r, θ) 下的表示为 r = f (θ). 证明曲线 C 的曲率表达式为
κ(t)
=
x′(t)y”(t) − x”(t)y′(t) {(x′(t))2 + (y′(t))2}3/2
,
这便是第二题的结论。 (1) 曲线参数化 a(t) = (t, at2),
|a′(t)|
=
√ 1
+
4a2t2.
从而弧长参数为
t
s(t) =
0
1
+
4a2θ2dθ
=
1 2θ
=
1 2
t
1
+
4a2θ2
代入第二题结果即可Y
习题 k VTl4.i:WY 求下列曲线的曲率和挠率-
(1) a(t) = (a cosh t, a sinh t, bt)(a > 0);
(2) a(t) = (3t − t2, 3t2, 3t + t2);
(3) a(t) = (a(1 − sin t), a(1 − cos t), bt)(a > 0);
+
1 4a
ln(2aθ
+
1
+
4a2t2
+
1 4a
ln(2at
+
θ=t
1 + 4a2θ2)
θ=0
1 + 4a2t2),
/j3- MRq3L$3a Sz. lzSfY U8@sN<"LCIYncj,Y30nY,NY
S
代入公式得曲率为
κ(t)
=
(1
+
2a 4a2t2)3/2
.
(2) 曲线参数化 a(t) = (a cos t.b sin t), t ∈ [0, 2π), |a′(t)| = a2 sin2 t + b2 cos2 t. 直接计算便有
微分几何第二章习题
黄鹏飞
习题 S VTl4.iSWY 求下列曲线的弧长与曲率-
(1) y = ax2;
Hale Waihona Puke (2)x2 a2+
y2 b2
=
1;
(3) a(t) = (a cosh t, b sinh t);
(4)
a(t)
=
(t,
a
cosh
t a
)(a
>
0).
解Y 对于平面参数曲线 a(t) = (x(t), y(t)). 有弧长参数